Ejercicios de Sucesiones acotadas

Desarrollo:

a) La sucesión no es constante ya que $a_1=-8$ y $a_2=-{\displaystyle \frac{16}{3}}$.

Para comprobar si la solución es creciente o decreciente es suficiente comprobar si $a_n\le a_{n+1}$ o $a_n\ge a_{n+1}$, respectivamente.

Veamos si es creciente.

Queremos comprobar si ${\displaystyle \frac{8n}{1-2n}}\le {\displaystyle \frac{8(n+1)}{1-(2n+1)}}$

Simplificando el factor $8$ y multiplicando por los denominadores obtenemos, observando que los denominadores son siempre negativos, $$n(1-2(n+1))\le (n+1)(1-2n)$$ Expandiendo los productos tenemos $$-n-2n^2\le +1-2n^2-n$$

Y restando el término $-n-2n^2$ obtenemos $0\le 1$ que es siempre cierto independientemente de $n$.

Por tanto la sucesión es creciente.

Para ver si la sucesión es estrictamente creciente debemos comprobar si $a_n<a_{n+1}$.

Podemos comprobar utilizando los cálculos anteriores que la solución es estrictamente creciente ya que los cálculos realizados son ciertos si substituimos la desigualdad $\le$ por la desigualdad estricta $<$.

Comprobamos si la sucesión admite alguna cota. Como la sucesión es creciente está acotada inferiormente por $a_1=-8$.

Para ver si la sucesión está acotada superiormente podemos darnos cuenta que ${\displaystyle \frac{8n}{1-2n}}<0$ ya que el numerador es positivo y el denominador es negativo.

Por tanto la sucesión está acotada superiormente por $0$.

b) La sucesión no es constante ya que $b_1=1$ y $b_2={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Viendo los dos primeros términos la sucesión, no puede ser creciente. Veamos si la sucesión es estrictamente decreciente. Comprobamos si $${\displaystyle \frac{2n}{1+n^2}}>{\displaystyle \frac{2(n+1)}{1+(n+1{)}^2}}$$ Multiplicando por los denominadores $$2n(1+(n+1{)}^2)>(1+n^2)2(n+1)$$ Expandiendo obtenemos $$4n+4n^2+2n^3>2+2n+2n^2+2n^3$$ Simplificando obtenemos $$n^2+n-1>0$$ Calculando las dos raíces del polinomio anterior vemos que son ambas menores a $1$. Por tanto para $n$ entero mayor a $1$ se cumple $n^2+n-1>0$ y la sucesión es estrictamente decreciente.

Como ya hemos visto antes, en este caso la sucesión está acotada superiormente por $b_1=1$.

Además como todos los términos de la sucesión son positivos obtenemos que la sucesión está acotada inferiormente por $0$.

c) La sucesión no es constante ya que $c_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ y $c_2=-2$.

Viendo los dos primeros términos solo puede darse que la sucesión sea estrictamente decreciente. Comprobamos si $${\displaystyle \frac{n^2+2}{-n-1}}>{\displaystyle \frac{(n+1{)}^2+2}{-(n+1)-1}}$$ Multiplicando por los denominadores obtenemos $$(-n-2)(n^2+2)>(n^2+2n+3)(-n-1)$$ Multiplicando por $-1$, y por tanto invirtiendo la desigualdad y expandiendo obtenemos; $$n^3+2n^2+2n+4<n^3+3n^2+5n+3$$ Restando obtenemos la desigualdad $$n^2+3n-1>0$$

Calculando las raíces vemos que las dos son menores a $1$ y por tanto la desigualdad es cierta para todo $n$ entero.

Por tanto la sucesión es estrictamente decreciente.

En consecuencia, la sucesión tratada está acotada superiormente por $c_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

La sucesión no tiene cota inferior ya que el termino general de la sucesión se hace tan grande, con signo negativo, como se quiera.

Solución:

a) La sucesión es estrictamente creciente. Está acotada superiormente por $0$ y inferiormente por $-8$.

b) La sucesión es estrictamente decreciente. Está acotada superiormente por $1$ y inferiormente por $0$.

c) La sucesión es estrictamente decreciente. Está acotada superiormente por $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ y no admite ninguna cota inferior.

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