Determina el comportamiento de las siguientes sucesiones y calcula si es posible una cota superior y una inferior.
a) $$a_n=\dfrac{8n}{1-2n}$$
b) $$b_n=\dfrac{2n}{1+n^2}$$
c) $$c_n=\dfrac{n^2+2}{-n-1}$$
Desarrollo:
a) La sucesión no es constante ya que $$a_1=-8$$ y $$a_2=-\dfrac{16}{3}$$.
Para comprobar si la solución es creciente o decreciente es suficiente comprobar si $$a_n\leq a_{n+1}$$ o $$a_n\geq a_{n+1}$$, respectivamente.
Veamos si es creciente.
Queremos comprobar si $$\dfrac{8n}{1-2n}\leq\dfrac{8(n+1)}{1-(2n+1)}$$
Simplificando el factor $$8$$ y multiplicando por los denominadores obtenemos, observando que los denominadores son siempre negativos, $$$n(1-2(n+1))\leq (n+1)(1-2n)$$$ Expandiendo los productos tenemos $$$-n-2n^2\leq +1-2n^2-n$$$
Y restando el término $$-n-2n^2$$ obtenemos $$0\leq1$$ que es siempre cierto independientemente de $$n$$.
Por tanto la sucesión es creciente.
Para ver si la sucesión es estrictamente creciente debemos comprobar si $$a_n < a_{n+1}$$.
Podemos comprobar utilizando los cálculos anteriores que la solución es estrictamente creciente ya que los cálculos realizados son ciertos si substituimos la desigualdad $$\leq$$ por la desigualdad estricta $$ < $$.
Comprobamos si la sucesión admite alguna cota. Como la sucesión es creciente está acotada inferiormente por $$a_1=-8$$.
Para ver si la sucesión está acotada superiormente podemos darnos cuenta que $$\dfrac{8n}{1-2n} < 0$$ ya que el numerador es positivo y el denominador es negativo.
Por tanto la sucesión está acotada superiormente por $$0$$.
b) La sucesión no es constante ya que $$b_1=1$$ y $$b_2=\dfrac{4}{5}$$.
Viendo los dos primeros términos la sucesión, no puede ser creciente. Veamos si la sucesión es estrictamente decreciente. Comprobamos si $$$\dfrac{2n}{1+n^2} > \dfrac{2(n+1)}{1+(n+1)^2}$$$ Multiplicando por los denominadores $$$2n(1+(n+1)^2) > (1+n^2)2(n+1)$$$ Expandiendo obtenemos $$$4n+4n^2+2n^3 > 2+2n+2n^2+2n^3$$$ Simplificando obtenemos $$$n^2+n-1 > 0$$$ Calculando las dos raíces del polinomio anterior vemos que son ambas menores a $$1$$. Por tanto para $$n$$ entero mayor a $$1$$ se cumple $$n^2+n-1 > 0$$ y la sucesión es estrictamente decreciente.
Como ya hemos visto antes, en este caso la sucesión está acotada superiormente por $$b_1=1$$.
Además como todos los términos de la sucesión son positivos obtenemos que la sucesión está acotada inferiormente por $$0$$.
c) La sucesión no es constante ya que $$c_1=-\dfrac{3}{2}$$ y $$c_2=-2$$.
Viendo los dos primeros términos solo puede darse que la sucesión sea estrictamente decreciente. Comprobamos si $$$\dfrac{n^2+2}{-n-1} > \dfrac{(n+1)^2+2}{-(n+1)-1}$$$ Multiplicando por los denominadores obtenemos $$$(-n-2)(n^2+2) > (n^2+2n+3)(-n-1)$$$ Multiplicando por $$-1$$, y por tanto invirtiendo la desigualdad y expandiendo obtenemos; $$$n^3+2n^2+2n+4 < n^3+3n^2+5n+3$$$ Restando obtenemos la desigualdad $$$n^2+3n-1 > 0$$$
Calculando las raíces vemos que las dos son menores a $$1$$ y por tanto la desigualdad es cierta para todo $$n$$ entero.
Por tanto la sucesión es estrictamente decreciente.
En consecuencia, la sucesión tratada está acotada superiormente por $$c_1=-\dfrac{3}{2}$$.
La sucesión no tiene cota inferior ya que el termino general de la sucesión se hace tan grande, con signo negativo, como se quiera.
Solución:
a) La sucesión es estrictamente creciente. Está acotada superiormente por $$0$$ y inferiormente por $$-8$$.
b) La sucesión es estrictamente decreciente. Está acotada superiormente por $$1$$ y inferiormente por $$0$$.
c) La sucesión es estrictamente decreciente. Está acotada superiormente por $$-\dfrac{3}{2}$$ y no admite ninguna cota inferior.