Exercicis de Successions acotades (o fitades)

Desenvolupament:

a) La successió no és constant ja que $a_1=-8$ i $a_2=-{\displaystyle \frac{16}{3}}$.

Per comprovar si la solució és creixent o decreixent és suficient comprovar si $a_n\le a_{n+1}$ o $a_n\ge a_{n+1}$, respectivament.

Vegem si és creixent. Volem comprovar si ${\displaystyle \frac{8n}{1-2n}}\le {\displaystyle \frac{8(n+1)}{1-(2n+1)}}$

Simplificant el factor $8$ i multiplicant pels denominadors obtenim, observant que els denominadors són sempre negatius, $$n(1-2(n+1))\le (n+1)(1-2n)$$ Expandint els productes tenim $$-n-2n^2\le +1-2n^2-n$$

I restant el terme $-n-2n^2$ obtenim $0\le 1$ que és sempre cert independentment de $n$. Per tant la successió és creixent.

Per veure si la successió és estrictament creixent hem de comprovar si $a_n<a_{n+1}$.

Podem comprovar utilitzant els càlculs anteriors que la solució és estrictament creixent ja que els càlculs realitzats són certs si substituïm la desigualtat $\le$ per la desigualtat estricta $<$.

Comprovem si la successió admet alguna cota. Com que la successió és creixent està fitada inferiorment per $a_1=-8$.

Per veure si la successió està fitada superiorment podem adonar-nos que ${\displaystyle \frac{8n}{1-2n}}<0$ ja que el numerador és positiu i el denominador és negatiu.

Per tant la successió està fitada superiorment per $0$.

b) La successió no és constant ja que $b_1=1$ i $b_2={\displaystyle \frac{4}{5}}$.

Veient els dos primers termes la successió, no pot ser creixent. Vegem si la successió és estrictament decreixent. Comprovem si $${\displaystyle \frac{2n}{1+n^2}}>{\displaystyle \frac{2(n+1)}{1+(n+1{)}^2}}$$ Multiplicant pels denominadors: $$2n(1+(n+1{)}^2)>(1+n^2)2(n+1)$$ Expandint obtenim $$4n+4n^2+2n^3>2+2n+2n^2+2n^3$$ Simplificant obtenim $$n^2+n-1>0$$ Calculant les dues arrels del polinomi anterior veiem que són les dues menors a $1$. Per tant per a $n$ enter major a $1$ es compleix $n^2+n-1>0$ i la successió és estrictament decreixent.

Com ja hem vist abans, en aquest cas la successió està fitada superiorment per $b_1=1$.

A més com tots els termes de la successió són positius obtenim que la successió està fitada inferiorment per $0$.

c) La successió no és constant ja que $c_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ i $c_2=-2$.

Veient els dos primers termes només pot donar-se que la successió sigui estrictament decreixent. Comprovem si $${\displaystyle \frac{n^2+2}{-n-1}}>{\displaystyle \frac{(n+1{)}^2+2}{-(n+1)-1}}$$ Multiplicant pels denominadors obtenim $$(-n-2)(n^2+2)>(n^2+2n+3)(-n-1)$$ Multiplicant per $-1$, i per tant invertint la desigualtat i expandint obtenim: $$n^3+2n^2+2n+4<n^3+3n^2+5n+3$$ Restant obtenim la desigualtat $$n^2+3n-1>0$$

Calculant les arrels veiem que les dues són menors a $1$ i per tant la desigualtat és certa per a tot $n$ enter.

Per tant la successió és estrictament decreixent.

En conseqüència, la successió tractada està fitada superiorment per $c_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

La successió no té fita inferior ja que el terme general de la successió es fa tan gran, amb signe negatiu, com es vulgui.

Solució:

a) La successió és estrictament creixent. Està fitada superiorment per $0$ i inferiorment per $-8$.

b) La successió és estrictament decreixent. Està fitada superiorment per $1$ i inferiorment per $0$.

c) La successió és estrictament decreixent. Està fitada superiorment per $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ i no admet cap fita inferior.

Amagar desenvolupament i solució