Exercicis de Potències i arrels de complexos en forma trigonomètrica (Fórmula de Moivre)

Desenvolupament:

Primer hem de passar $1+i$ a la seva forma trigonomètrica.

Calculem-ne el seu mòdul: $|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

I ara el seu argument: $\alpha =\arctan ({\displaystyle \frac{1}{1}})\Rightarrow \alpha ={45}^{\circ }$

Llavors el podem escriure com: $$1+i=\sqrt{2}\cdot [\cos ({45}^{\circ })+i\cdot \sin ({45}^{\circ })]=\sqrt{2}\cdot e^{i{45}^{\circ }}$$ Calculem ara la cinquena potència d'aquest nombre: $${\displaystyle \begin{array}{rl}(1+i{)}^5=& (\sqrt{2}\cdot e^{i{45}^{\circ }}{)}^5=(\sqrt{2}{)}^5\cdot (e^{i{45}^{\circ }}{)}^5\\ =& 4\sqrt{2}\cdot e^{i{225}^{\circ }}=4\sqrt{2}\cdot [\cos ({225}^{\circ })+i\cdot \sin ({225}^{\circ })]\end{array}}$$

Solució:

$(1+i{)}^5=4\sqrt{2}\cdot [\cos ({225}^{\circ })+i\cdot \sin ({225}^{\circ })]$.

Amagar desenvolupament i solució