Potències i arrels de complexos en forma trigonomètrica (Fórmula de Moivre)

Vegem com queda l'expressió per al càlcul de la potència enèsima d'un nombre complex que ve expressat en forma trigonomètrica. Considerem el producte de $n$ nombres complexos en forma trigonomètrica:

$$(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )]{)}^n=$$

$$=(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )])\stackrel{(n)}{\cdots }(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )])=$$

$$=|z{|}^n\cdot [\cos (n\alpha )+i\cdot \sin (n\alpha )]$$ Aquesta fórmula ens dóna la potència enèsima d'un complex en forma trigonomètrica i va ser donada per Moivre.

Un cop se sap treballar la potenciació, es pot continuar amb la radicació.

Donat un nombre complex, tot altre nombre complex que elevat a la potència enèsima doni un resultat igual al primer, es diu que és una arrel enèsima d'aquest.

Vegem que donat un nombre complex qualsevol amb mòdul $R$ i argument $\varphi$ sempre té arrels enèsimes, i precisament en té $n$.

En virtut de la definició, la condició perquè $|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )]$ sigui una arrel enèsima és: $$(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )]{)}^n=R\cdot [\cos (\varphi )+i\cdot \sin (\varphi )]$$

Llavors, els dos nombres representats pel primer i segon membre d'aquesta igualtat han de ser iguals, per tant, hauran de tenir el mateix mòdul i els seus arguments hauran de diferir en un nombre exacte de circumferències, és a dir:

$$|z{|}^n=R\text{ i }n\alpha =\varphi +k\cdot {360}^{\circ }$$

El mòdul $|z|$ de l'arrel buscada queda perfectament determinat per la primera d'aquestes equacions, ja que ha de ser un nombre positiu amb potència enèsima igual a $R$, així: $$|z|=\sqrt[n]{R}$$ Es té, doncs, que $|z|$ és l'arrel enèsima aritmètica de $R$.

Pel que fa a l'argument $\alpha$, la segona equació ens dóna: $$\alpha ={\displaystyle \frac{\varphi }{n}}+{\displaystyle \frac{k\cdot {360}^{\circ }}{n}}$$

A primera vista podria semblar que $\alpha$ té infinits valors, però en realitat per $k=0$ fins $k=n-1$ obtindrem $n$ arguments diferents, i a partir dels següents $k$ obtindrem els mateixos nombres complexos que ja havíem trobat, ja que seran els mateixos però amb algunes voltes senceres més.

En resum, tot nombre complex no nul $R\cdot [\cos (\varphi )+i\cdot \sin (\varphi )]$ té $n$ arrels enèsimes diferents, el mòdul és el mateix per totes (és igual a l'arrel enèsima aritmètica del mòdul $R$) i els arguments (llevat múltiples de ${360}^{\circ }$) són:

$${\displaystyle \frac{\varphi }{n}},{\displaystyle \frac{\varphi +{360}^{\circ }}{n}},{\displaystyle \frac{\varphi +2\cdot {360}^{\circ }}{n}},{\displaystyle \frac{\varphi +3\cdot {360}^{\circ }}{n}},\dots ,{\displaystyle \frac{\varphi +(n-1)\cdot {360}^{\circ }}{n}}$$

Com podem comprovar aquest mètode és molt semblant al que utilitzàvem amb la forma polar dels nombres complexos.