Ara que sabem treballar amb els nombres complexos i les operacions bàsiques de suma, resta, multiplicació i divisió, anem a introduir-nos en la representació d'aquests números en el pla complex. Per als nombres reals, dibuixàvem una recta i els anàvem posant ordenadament, és a dir:
Per representar gràficament un nombre complex, hem de dibuixar en el pla complex. Aquest està format per un eix real i un eix imaginari. Sobre l'eix real representarem la part real del nombre complex, mentre que en l'eix imaginari representarem la part imaginària. Aquests eixos els dibuixarem perpendiculars i secants en el zero, que té part real i imaginària nula.
Vegem un exemple del pla complex:
Un nombre complex $$z$$ en forma binòmica es representarà llavors en un pla complex com l'anterior de la següent manera:
Tenim el complex $$z=a+bi$$ on:
- $$a$$ és qualsevol nombre real i se l'anomena part real de $$z$$.
- $$b$$ és qualsevol nombre real i se l'anomena la part imaginària de $$z$$.
Així per a representar un $$z=a+bi$$ es dibuixa el pla del vector associat a $$z$$ que és el vector amb origen $$(0,0)$$ i extrem el punt $$(a,b)$$.
És a dir, es pren la part real del complex i es dibuixa en l'eix real. Es pren la part imaginària i es dibuixa en l'eix imaginari. Es tracen paral·leles als eixos que passen per cada un dels punts marcats i la intersecció d'aquestes paral·leles és el nombre que volíem representar.
Si volem representar l'imaginari $$z=2-i$$.
Primer hem de marcar en l'eix real el $$2$$.
Després hem de marcar en l'eix imaginari el $$-i$$.
Tracem dues rectes:
- Una paral·lela a l'eix real que passi pel punt $$-i$$.
-
Una paral·lela a l'eix imaginari que passi pel punt $$2$$.
El punt intersecció d'aquestes dues rectes és el nombre $$z$$ que volíem dibuixar.
Gràficament és:
En definitiva el que estem fent és que a cada nombre complex que ve donat per la forma $$z=a+bi$$ li associem un vector en el pla que és exactament el vector $$(a,b)$$.
Per exemple, el complex $$3+9i$$ és l'associat al vector del pla $$(3,9)$$ i el complex $$-5i$$ és l'associat al vector $$(0,-5)$$.
Anteriorment hem dit que:
Es defineix el conjugat d'un nombre imaginari com el nombre $$\bar{z}=a-ib$$, en aquest cas, per representar prendrem el vector associat $$(a,-b)$$.
L'oposat d'un nombre imaginari és $$z_{op}=-z=-a-bi$$, que tindrà vector associat el $$(-a,-b)$$.
I l'invers d'un nombre complex és $$z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i$$ que tindrà vector associat el $$\big(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2}\Big)$$.
Si els dibuixem en el pla complex aquests queden:
