Ahora que sabemos trabajar con los números complejos y las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, vamos a introducirnos en la representación de dichos números en el plano complejo. Para los números reales, dibujábamos una recta y los íbamos colocando ordenadamente, es decir:
Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula.
Veamos un ejemplo del plano complejo:
Un número complejo $$z$$ en forma binómica se representará entonces en un plano complejo como el anterior de la siguiente forma:
Tenemos el complejo $$z=a+bi$$ donde:
- $$a$$ es cualquier número real, y se le llama parte real de $$z$$.
- $$b$$ es cualquier número real, y se le llama la parte imaginaria de $$z$$.
Así, para representar un $$z=a+bi$$ se dibuja en el plano el vector asociado a $$z$$ que es el vector con origen $$(0,0)$$ y extremo el punto $$(a,b)$$.
Es decir, se toma la parte real del complejo y se dibuja en el eje real. Se toma la parte imaginaria y se dibuja en el eje imaginario. Se trazan paralelas a los ejes que pasen por cada uno de los puntos marcados y la intersección de dichas paralelas es el número que queríamos representar.
Por ejemplo, si queremos representar el imaginario $$z=2-i$$.
Primero marcamos en el eje real el $$2$$.
Luego marcamos en el eje imaginario el $$-i$$.
Trazamos dos rectas:
- una paralela al eje real que pase por el punto $$-i$$.
-
una paralela al eje imaginario que pase por el punto $$2$$.
El punto intersección de estas dos rectas es el número $$z$$ que queríamos dibujar.
Gráficamente es:
En definitiva lo que estamos haciendo es que a cada número complejo que viene dado por la forma $$z=a+bi$$ le asociamos un vector en el plano que es exactamente el vector $$(a,b)$$.
Por ejemplo, el complejo $$3+9i$$ es el asociado al vector del plano $$(3,9)$$ y el complejo $$-5i$$ es el asociado al vector $$(0,-5)$$.
Anteriormente hemos dicho que:
Se define el conjugado de un número imaginario como el número $$\bar{z}=a-ib$$, en este caso, para representarlo tomaremos el vector asociado $$(a,-b)$$.
El opuesto de un número imaginario es $$z_{op}=-z=-a-bi$$, que tendrá vector asociado el $$(-a,-b)$$.
Y el inverso de un número complejo es $$z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i$$ que tendrá vector asociado el $$\big(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2}\Big)$$.
Si los dibujamos en el plano complejo estos quedan:
