Hasta ahora hemos aprendido a trabajar con la forma binómica de los números complejos y hemos dado los pasos a seguir para representarlos en el plano complejo.
Lo que hacíamos era adjudicar un vector a cada número complejo, que determinábamos según sus partes real e imaginaria. Así pues, en el fondo estábamos representando vectores en el plano.
Pero los vectores en el plano pueden ser entendidos también como una longitud y un ángulo que los separa del eje horizontal. Por eso, los números imaginarios también se pueden entender como una longitud (que será el módulo) y un ángulo. Veamos cómo se construye.
Para representar un número complejo $$z$$ n forma polar se deben considerar el módulo y el argumento de éste. El módulo se refiere a la longitud del vector que lo representa en el plano, y el argumento se refiere al ángulo que forma con el eje horizontal.
Es decir, gráficamente sería:
Así, se tendrá que lo representaremos mediante un módulo y un argumento que escribiremos de la siguiente forma $$z=|z|_{\alpha}$$ donde:
- a $$|z|$$ se le llama módulo y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la componente real y la componente imaginaria. Se suele escribir $$|z|$$ o $$r$$ y se puede pensar como la distancia desde el origen hasta el número complejo $$z$$ si lo tenemos representado en el plano complejo. Así pues, se tiene: $$$ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$$
- a $$\alpha$$ se le llama el argumento del número complejo $$z$$ y es el ángulo que forma el número complejo $$z$$ on el eje real (en sentido positivo) si lo tenemos representado en el plano complejo. Así pues, se tiene: $$$\alpha=\arctan(\dfrac{b}{a})$$$
Se tiene entonces que el argumento de un número complejo no es único, puesto que la expresión $$\alpha=\arctan(\frac{b}{a})$$ no determina unívocamente el argumente de un número, puesto que hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad.
Ahora bien, si restringimos el valor de $$\alpha$$ para $$0\leqslant\alpha< 2\pi$$, hay dos ángulos que difieren en $$\pi$$ tienen la misma tangente. Para saber cuál de ellos es el argumento, tendremos en cuenta los signos de $$a$$ y $$b$$, de esta forma conseguiremos saber en que cuadrante está situado el vector del número complejo. Y nos dará el ángulo que buscamos.
- Si la parte real y la imaginaria son positivas, el complejo vive en el primer cuadrante.
Por ejemplo $$5+9i$$.
- Si la parte real es negativa y la imaginaria es positiva, el complejo vive en el segundo cuadrante.
Por ejemplo $$-5+9i$$.
- Si la parte real y la imaginaria son negativas, el complejo vive en el tercer cuadrante.
Por ejemplo $$-5-9i$$.
- Si la parte real es positiva y la imaginaria es negativa, el complejo vive en el cuarto cuadrante.
Por ejemplo $$5-9i$$.
Vamos a calcular el módulo y argumento del número $$z=4+4\sqrt{3}i$$.
El complejo $$4+4\sqrt{3}i$$ tiene por módulo: $$$|4+4\sqrt{3}i|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+16\cdot3}=\sqrt{16+48}= \sqrt{64}=8$$$
y el argumento es: $$$\alpha=\arctan\Big(\dfrac{4\sqrt{3}}{4}\Big) =\arctan(\sqrt{3})=60^{\circ}$$$
porqué tanto la parte real como la imaginaria son positivas y por lo tanto el complejo vive en el primer cuadrante.
De manera que para representarlo en forma polar este complejo es $$$ z=|z|_{\alpha}=8_{60^{\circ}}$$$
Esta manera de trabajar nos permite pasar de un número complejo expresado en forma binómica a un número complejo expresado en forma polar.