Nombres complexos en forma polar: mòdul i argument

Ja sabem treballar amb la forma binòmica dels nombres complexos i sabem els passos a seguir per representar-los en el pla complex.

El que fèiem era adjudicar un vector a cada nombre complex, que determinàvem segons les seves parts real i imaginària. Així doncs, en el fons estàvem representant vectors en el pla.

Però els vectors en el pla poden ser entesos també com una longitud i un angle que els separa de l'eix horitzontal. Per això, els nombres imaginaris també es poden entendre com una longitud (que serà el mòdul) i un angle. Vegem com es construeix.

Per a representar un nombre complex z en forma polar s'han de considerar el mòdul i l'argument d'aquest. El mòdul es refereix a la longitud del vector que el representa en el pla i l'argument es refereix a l'angle que forma amb l'eix horitzontal.

És a dir, gràficament seria:

imagen

Així, representarem un nombre complex mitjançant un mòdul i un argument que escriurem de la forma z=|z|α on:

  • a |z| se l'anomena mòdul i és l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de la component real i la component imaginària. Se sol escriure |z| o r i es pot pensar com la distància des de l'origen fins al nombre complex z si el tenim representat en el pla complex. Així doncs, es té: |z|=|a+bi|=a2+b2
  • a α se l'anomena l'argument del nombre complex z i és l'angle que forma el nombre complex z amb l'eix real (en sentit positiu) si ho tenim representat en el pla complex. Així doncs, es té: α=arctan(ba)

Es té llavors que l'argument d'un nombre complex no és únic, ja que l'expressió α=arctan(ba) no determina unívocament l'argument d'un nombre, ja que hi ha infinits angles que compleixen la igualtat.

Ara bé, si restringim el valor de α per 0α<2π, només hi haurà dos angles que difereixen en π i tenen la mateixa tangent. Per saber quin d'ells és l'argument, tindrem en compte els signes de a i b, d'aquesta manera aconseguirem saber en quin quadrant està situat el vector del nombre complex i ens donarà l'angle que busquem.

  • Si la part real i la imaginària són positives, el complex es troba al primer quadrant.

Exemple

Per exemple 5+9i.

  • Si la part real és negativa i la imaginària és positiva, el complex es troba en el segon quadrant.

Exemple

Per exemple 5+9i.

  • Si la part real i la imaginària són negatives, el complex es troba al tercer quadrant.

Exemple

Per exemple 59i.

  • Si la part real és positiva i la imaginària és negativa, el complex es troba en el quart quadrant.

Exemple

Per exemple 59i.

Exemple

Calculem el mòdul i argument del nombre z=4+43i.

El complex 4+43i té per mòdul: |4+43i|=42+(43)2=16+163=16+48=64=8

I l'argument és: α=arctan(434)=arctan(3)=60

perquè tant la part real com la imaginària són positives i per tant el complex viu al primer quadrant.

De manera que aquest complex en forma polar és: z=|z|α=860

Aquesta manera de treballar ens permet passar d'un nombre complex expressat en forma binòmica a un nombre complex expressat en forma polar.