Ja sabem treballar amb la forma binòmica dels nombres complexos i sabem els passos a seguir per representar-los en el pla complex.
El que fèiem era adjudicar un vector a cada nombre complex, que determinàvem segons les seves parts real i imaginària. Així doncs, en el fons estàvem representant vectors en el pla.
Però els vectors en el pla poden ser entesos també com una longitud i un angle que els separa de l'eix horitzontal. Per això, els nombres imaginaris també es poden entendre com una longitud (que serà el mòdul) i un angle. Vegem com es construeix.
Per a representar un nombre complex
És a dir, gràficament seria:
Així, representarem un nombre complex mitjançant un mòdul i un argument que escriurem de la forma
- a
se l'anomena mòdul i és l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de la component real i la component imaginària. Se sol escriure o i es pot pensar com la distància des de l'origen fins al nombre complex si el tenim representat en el pla complex. Així doncs, es té: - a
se l'anomena l'argument del nombre complex i és l'angle que forma el nombre complex amb l'eix real (en sentit positiu) si ho tenim representat en el pla complex. Així doncs, es té:
Es té llavors que l'argument d'un nombre complex no és únic, ja que l'expressió
Ara bé, si restringim el valor de
- Si la part real i la imaginària són positives, el complex es troba al primer quadrant.
Exemple
Per exemple
- Si la part real és negativa i la imaginària és positiva, el complex es troba en el segon quadrant.
Exemple
Per exemple
- Si la part real i la imaginària són negatives, el complex es troba al tercer quadrant.
Exemple
Per exemple
- Si la part real és positiva i la imaginària és negativa, el complex es troba en el quart quadrant.
Exemple
Per exemple
Exemple
Calculem el mòdul i argument del nombre
El complex
I l'argument és:
perquè tant la part real com la imaginària són positives i per tant el complex viu al primer quadrant.
De manera que aquest complex en forma polar és:
Aquesta manera de treballar ens permet passar d'un nombre complex expressat en forma binòmica a un nombre complex expressat en forma polar.