Nombres complexos en forma trigonomètrica: producte i quocient

Quan es té un nombre complex $z$ en forma polar (que està definit donant només $(| z |, α)$ ) es pot passar fàcilment a la forma trigonomètrica o també anomenada mòdul argumental. Es procedeix de la següent manera:

$z = | z | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)]$

on $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ i $α = \arctan (\frac{b}{a})$ .

Atès que la fórmula d'Euler ens dóna que $e^{i α} = \cos α + i \cdot \sin α$ , es té que la forma trigonomètrica també es pot escriure de la següent manera: $z = | z | \cdot e^{i α}$

Aquesta altra manera d'expressar un nombre complex ens dóna una nova forma d'expressar l'element invers d'un complex, que és:

$z^{- 1} = | z |^{- 1} \cdot (\cos α - i \sin α) = | z |^{- 1} \cdot e^{- i α}$

Exemple

Per exemple: $4 (\cos (30^{\circ}) + i \cdot \sin (30^{\circ}))$ és el nombre complex que té mòdul $4$ i argument $30^{\circ}$ . També es pot escriure com: $4 \cdot e^{i 30^{\circ}}$ .

$23 (\cos (245^{\circ}) + i \cdot \sin (245^{\circ}))$ és també un complex, però que té mòdul $23$ i argument $245^{\circ}$ . També es pot escriure com: $23 \cdot e^{i 245^{\circ}}$ .

Producte i quocient de complexos en forma trigonomètrica

Si escrivim dos nombres complexos en forma trigonomètrica tenim:

$z_{1} = | z_{1} | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)]$

$z_{2} = | z_{2} | \cdot [\cos (β) + i \cdot \sin (β)]$

Quan fem el producte, quedarà:

$\begin{aligned} z_{1} \cdot z_{2} = & | z_{1} | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)] \cdot | z_{2} | \cdot [\cos (β) + i \cdot \sin (β)] \\ = & | z_{1} | \cdot | z_{2} | \cdot [\cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β) \\ + i \cdot (\cos (α) \cdot \sin (β) + \sin (α) \cdot \cos (β))] \end{aligned}$

Sabent la fórmula del cosinus d'una suma i del sinus d'una suma, s'obté:

$z_{1} \cdot z_{2} = | z_{1} | \cdot | z_{2} | \cdot [\cos (α + β) + i \cdot \sin (α + β)]$

Exemple

Aplicant la fórmula multipliquem: $(2 \cdot [\cos (36^{\circ}) + i \cdot \sin (36^{\circ})]) \cdot (5 \cdot [\cos (120^{\circ}) + i \cdot \sin (120^{\circ})]) =$ $= 2 \cdot 5 \cdot [\cos (36^{\circ} + 120^{\circ}) + i \cdot \sin (36^{\circ} + 120^{\circ})]$

Calculant les operacions indicades queden: $(2 \cdot [\cos (36^{\circ}) + i \cdot \sin (36^{\circ})]) \cdot (5 \cdot [\cos (120^{\circ}) + i \cdot \sin (120^{\circ})]) =$ $= 10 \cdot [\cos (156^{\circ}) + i \cdot \sin (156^{\circ})] = 10 \cdot e^{i 156^{\circ}}$

i aquestes dues últimes són les dues formes d'expressar el resultat en forma trigonomètrica.

Per tant, en virtut de la definició anterior, això ens ve a dir que el mòdul del producte de dos nombres complexos és igual al producte dels mòduls dels factors i l'argument del producte és igual a la suma dels arguments dels mateixos. Resultat idèntic al que s'obté usant forma polar.

Observem que el producte de dos nombres complexos conjugats és un nombre real, ja que la suma dels dos arguments és zero.

Exemple

Per exemple:

Atès que l'angle que forma el complementari d'un complex que té argument $α$ sempre és $360^{\circ} - α$ , tenim que:

$(2 \cdot [\cos (20^{\circ}) + i \cdot \sin (20^{\circ})]) \cdot (2 \cdot [\cos (340^{\circ}) + i \cdot \sin (340^{\circ})]) =$ $= 2 \cdot 2 \cdot [\cos (360^{\circ}) + i \cdot \sin (360^{\circ})] = 4 \cdot (1 + i \cdot 0) = 4$

Efectivament dóna un nombre real, ja que la part imaginària $\sin (α + β) = \sin (α + 360^{\circ} - α) = \sin (360^{\circ}) = 0$

és sempre zero perquè els angles de dos conjugats sempre donen $360^{\circ}$ si s'estan sumant.

Donats dos nombres complexos sempre hi ha un tercer nombre, anomenat quocient, tal que multiplicat pel segon (que se suposa diferent de zero) dóna un producte igual al primer. En virtut de les propietats del producte, el quocient serà un nombre el mòdul del qual és el quocient dels mòduls i el seu argument, la diferència dels arguments dels nombres complexos, tal com ja teníem en la forma polar. És per això que utilitzarem la següent fórmula per resoldre quocients:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{| z_{1} | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)]}{| z_{2} | \cdot [\cos (β) + i \cdot \sin (β)]} = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} \cdot [\cos (α - β) + i \cdot \sin (α - β)]$

Això surt de multiplicar i dividir pel conjugat d'aquest nombre, com en el cas de la forma polar.

Exemple

Vegem un exemple: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{7 \cdot [\cos (330^{\circ}) + i \cdot \sin (330^{\circ})]}{4 \cdot [\cos (50^{\circ}) + i \cdot \sin (50^{\circ})]} = \frac{7}{4} \cdot [\cos (280^{\circ}) + i \cdot \sin (280^{\circ})] = \frac{7}{4} \cdot e^{280^{\circ} i}$