Números complejos en forma trigonométrica: producto y cociente

Cuando se tiene un número complejo $z$ en forma polar (por lo tanto está definido con solo dar $(| z |, α)$ ) se puede pasar fácilmente a la forma trigonométrica o también llamada módulo argumental. Se procede de la siguiente manera:

$z = | z | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)]$

donde $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ y $α = \arctan (\frac{b}{a})$ .

Dado que la fórmula de Euler nos da que $e^{i α} = \cos α + i \cdot \sin α$ , se tiene que la forma trigonométrica también se puede escribir de la siguiente forma: $z = | z | \cdot e^{i α}$

Esta otra manera de expresar un número complejo nos da una nueva forma de expresar el elemento inverso de un complejo, que es:

$z^{- 1} = | z |^{- 1} \cdot (\cos α - i \sin α) = | z |^{- 1} \cdot e^{- i α}$

Ejemplo

Por ejemplo: $4 (\cos (30^{\circ}) + i \cdot \sin (30^{\circ}))$ es el número complejo que tiene módulo $4$ y argumento $30^{\circ}$ . También se puede escribir como: $4 \cdot e^{i 30^{\circ}}$ .

$23 (\cos (245^{\circ}) + i \cdot \sin (245^{\circ}))$ es también un complejo, pero que tiene módulo $23$ y argumento $245^{\circ}$ . También se puede escribir como: $23 \cdot e^{i 245^{\circ}}$ .

Producto y cociente de complejos en forma trigonométrica

Si escribimos dos números complejos en forma trigonométrica tenemos:

$z_{1} = | z_{1} | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)]$

$z_{2} = | z_{2} | \cdot [\cos (β) + i \cdot \sin (β)]$

Cuando hagamos el producto, quedará:

$\begin{aligned} z_{1} \cdot z_{2} = & | z_{1} | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)] \cdot | z_{2} | \cdot [\cos (β) + i \cdot \sin (β)] \\ = & | z_{1} | \cdot | z_{2} | \cdot [\cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β) \\ + i \cdot (\cos (α) \cdot \sin (β) + \sin (α) \cdot \cos (β))] \end{aligned}$

Sabiendo la fórmula del coseno de la suma y la del seno de la suma se obtiene:

$z_{1} \cdot z_{2} = | z_{1} | \cdot | z_{2} | \cdot [\cos (α + β) + i \cdot \sin (α + β)]$

Ejemplo

Aplicando la fórmula multiplicamos: $(2 \cdot [\cos (36^{\circ}) + i \cdot \sin (36^{\circ})]) \cdot (5 \cdot [\cos (120^{\circ}) + i \cdot \sin (120^{\circ})]) =$ $= 2 \cdot 5 \cdot [\cos (36^{\circ} + 120^{\circ}) + i \cdot \sin (36^{\circ} + 120^{\circ})]$

Calculando las operaciones indicadas quedan: $(2 \cdot [\cos (36^{\circ}) + i \cdot \sin (36^{\circ})]) \cdot (5 \cdot [\cos (120^{\circ}) + i \cdot \sin (120^{\circ})]) =$ $= 10 \cdot [\cos (156^{\circ}) + i \cdot \sin (156^{\circ})] = 10 \cdot e^{i 156^{\circ}}$

y éstas dos últimas son las dos formas de expresar el resultado en forma trigonométrica.

Por lo tanto, en virtud de la definición anterior, esto nos viene a decir que el módulo del producto de dos números complejos es igual al producto de los módulos de los factores y el argumento del producto es igual a la suma de los argumentos de los mismos. Resultado idéntico al obtenido en forma polar.

Observemos que el producto de dos números complejos conjugados es un número real, ya que la suma de los dos argumentos es cero.

Ejemplo

Por ejemplo:

Dado que el ángulo que forma el complementario de un complejo que tiene argumento $α$ siempre es $360^{\circ} - α$ , tenemos que:

$(2 \cdot [\cos (20^{\circ}) + i \cdot \sin (20^{\circ})]) \cdot (2 \cdot [\cos (340^{\circ}) + i \cdot \sin (340^{\circ})]) =$ $= 2 \cdot 2 \cdot [\cos (360^{\circ}) + i \cdot \sin (360^{\circ})] = 4 \cdot (1 + i \cdot 0) = 4$

Efectivamente da un número real, puesto que la parte imaginaria que es $\sin (α + β) = \sin (α + 360^{\circ} - α) = \sin (360^{\circ}) = 0$

siempre cero porque los ángulos de dos conjugados siempre dan $360^{\circ}$ si se están sumando.

Dados dos números complejos siempre existe un tercer número, llamado cociente, tal que multiplicado por el segundo (que se supone distinto de cero) nos da un producto igual al primero. En virtud de las propiedades del producto, el cociente será un número cuyo módulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento será la diferencia de los argumentos de los números complejos, como utilizando la forma polar. Es por eso que vamos a utilizar la siguiente fórmula para resolver cocientes:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{| z_{1} | \cdot [\cos (α) + i \cdot \sin (α)]}{| z_{2} | \cdot [\cos (β) + i \cdot \sin (β)]} = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} \cdot [\cos (α - β) + i \cdot \sin (α - β)]$

Esto sale de multiplicar y dividir por el conjugado de dicho número, como en el caso de la forma polar.

Ejemplo

Veamos un ejemplo: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{7 \cdot [\cos (330^{\circ}) + i \cdot \sin (330^{\circ})]}{4 \cdot [\cos (50^{\circ}) + i \cdot \sin (50^{\circ})]} = \frac{7}{4} \cdot [\cos (280^{\circ}) + i \cdot \sin (280^{\circ})] = \frac{7}{4} \cdot e^{280^{\circ} i}$