Raíces enésimas

La forma trigonométrica se puede expresar de forma exponencial, es decir, cualquier número complejo $z$ tiene una representación del tipo: $| z | \cdot e^{i α}$ donde $| z |$ es su módulo y $α$ su argumento.

Si tenemos los números complejos de esta forma trigonométrica es muy fácil calcular las raíces enésimas, puesto que tenemos

$\sqrt[n]{| z | \cdot e^{i α}} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \sqrt[n]{e^{i α}} = \sqrt[n]{| z |} \cdot e^{i \frac{α + k 360^{\circ}}{n}}$

debido a las propiedades de las raíces y potencias con exponente racional.

En el caso particular de todos aquellos números complejos cuyo módulo es $1$ (vienen representados pues por $e^{i α}$ donde el ángulo $α$ es el argumento de dicho número complejo), entonces las raíces enésimas serán: $e^{i \frac{α + k 360^{\circ}}{n}}$ Para $k = 0$ tendremos la primera raíz, para $k = 1$ la segunda, y así sucesivamente hasta llegar a la raíz enésima, que corresponde a $k = n - 1$ .

Por lo tanto, tendremos $n$ raíces distintas, como era de esperar.

Ejemplo

Veamos un ejemplo concreto, vamos a encontrar las raíces enésimas de la unidad, es decir del número $1$ .

Deseamos determinar los valores $z$ tales que $z^{n} = 1$ .

$1 = 1 \cdot [\cos (0^{\circ}) + i \cdot \sin (0^{\circ})] = 1 \cdot e^{i 0^{\circ}}$

Entonces las $n$ raíces de la unidad están dadas por: $e^{i \frac{0^{\circ} + 360^{\circ} k}{n}} = e^{i \frac{360^{\circ} k}{n}}$

con $k = 0, 1, 2, \dots, (n - 1)$ .

Entonces serán: $\begin{array}{ll} k = 0 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{0} = 1 \\ k = 1 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{i \frac{360^{\circ}}{n}} \\ k = 2 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{i \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{n}} \\ ⋮ & ⋮ \\ k = n - 1 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{i \frac{(n - 1) \cdot 360^{\circ}}{n}} \end{array}$

En particular, por ejemplo, si $n = 3$ entonces las raíces son:

$k = 0 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{0} = 1$

$k = 1 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{360^{\circ}}{3}} = e^{i 120^{\circ}}$

$k = 2 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{3}} = e^{i 240^{\circ}}$

Si preferimos expresarlo en forma trigonométrica extendida sólo hace falta hacer:

$k = 0 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{0} = 1 \cdot [\cos (0^{\circ}) + i \cdot \sin (0^{\circ})]$

$k = 1 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{360^{\circ}}{3}} = e^{i 120^{\circ}} = 1 \cdot [\cos (120^{\circ}) + i \cdot \sin (120^{\circ})]$

$k = 2 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{3}} = e^{i 240^{\circ}} = 1 \cdot [\cos (240^{\circ}) + i \cdot \sin (240^{\circ})]$