La forma trigonométrica se puede expresar de forma exponencial, es decir, cualquier número complejo $$z$$ tiene una representación del tipo: $$$ |z|\cdot e^{i\alpha}$$$ donde $$|z|$$ es su módulo y $$\alpha$$ su argumento.
Si tenemos los números complejos de esta forma trigonométrica es muy fácil calcular las raíces enésimas, puesto que tenemos
$$$\sqrt[n]{|z|\cdot e^{i\alpha}}=\sqrt[n]{|z|}\cdot \sqrt[n]{e^{i\alpha}}= \sqrt[n]{|z|}\cdot e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$$
debido a las propiedades de las raíces y potencias con exponente racional.
En el caso particular de todos aquellos números complejos cuyo módulo es $$1$$ (vienen representados pues por $$e^{i\alpha}$$ donde el ángulo $$\alpha$$ es el argumento de dicho número complejo), entonces las raíces enésimas serán: $$$e^{i\frac{\alpha+k360^\circ}{n}}$$$ Para $$k = 0$$ tendremos la primera raíz, para $$k = 1$$ la segunda, y así sucesivamente hasta llegar a la raíz enésima, que corresponde a $$k = n-1$$.
Por lo tanto, tendremos $$n$$ raíces distintas, como era de esperar.
Veamos un ejemplo concreto, vamos a encontrar las raíces enésimas de la unidad, es decir del número $$1$$.
Deseamos determinar los valores $$z$$ tales que $$z^n=1$$.
$$$ 1=1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)]=1\cdot e^{i 0^\circ}$$$
Entonces las $$n$$ raíces de la unidad están dadas por: $$$e^{i\frac{0^\circ+360^\circ k}{n}}= e^{i\frac{360^\circ k}{n}}$$$
con $$k = 0, \ 1, \ 2,\ \dots \ , \ (n - 1)$$.
Entonces serán: $$$\displaystyle \begin{array}{ll} k=0 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^0 = 1 \\ k=1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{360^\circ}{n}} \\ k=2 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{n}} \\ \vdots & \vdots \\ k=n-1 &\Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{n}}= e^{i\frac{(n-1)\cdot360^\circ}{n}} \end{array} $$$
En particular, por ejemplo, si $$n = 3$$ entonces las raíces son:
$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1 $$
$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ} $$
$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ} $$
Si preferimos expresarlo en forma trigonométrica extendida sólo hace falta hacer:
$$k=0 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^0 = 1\cdot[\cos(0^\circ)+i \cdot\sin(0^\circ)] $$
$$k=1 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{360^\circ}{3}}= e^{i120^\circ}= 1\cdot[\cos(120^\circ)+i \cdot\sin(120^\circ)] $$
$$k=2 \ \Rightarrow \ e^{i\frac{k 360^\circ}{3}}= e^{i\frac{2\cdot360^\circ}{3}} =e^{i240^\circ}=1\cdot[\cos(240^\circ)+i \cdot\sin(240^\circ)] $$