Arrels enèsimes

La forma trigonomètrica d'un complex es pot expressar de manera exponencial, és a dir, qualsevol nombre complex $z$ té una representació del tipus: $| z | \cdot e^{i α}$ on $| z |$ és el seu mòdul i $α$ el seu argument.

Si tenim els nombres complexos d'aquesta forma trigonomètrica és molt fàcil calcular les arrels enèsimes, ja que tenim

$\sqrt[n]{| z | \cdot e^{i α}} = \sqrt[n]{| z |} \cdot \sqrt[n]{e^{i α}} = \sqrt[n]{| z |} \cdot e^{i \frac{α + k 360^{\circ}}{n}}$

usant les propietats de les arrels i potències amb exponent racional.

En el cas particular dels nombres complexos amb mòdul $1$ (aquests vénen representats per $e^{i α}$ on l'angle $α$ és l'argument del nombre complex), llavors les arrels enèsimes seran: $e^{i \frac{α + k 360^{\circ}}{n}}$ Per a $k = 0$ tindrem la primera arrel, per $k = 1$ la segona, i així successivament fins arribar a l'arrel enèsima, que correspon a $k = n - 1$ .

Per tant, tindrem $n$ arrels diferents, com era d'esperar.

Exemple

Vegem un exemple concret, anem a trobar les arrels enèsimes de la unitat, és a dir, del número $1$ .

Volem determinar els $z$ tals que $z^{n} = 1$ .

$1 = 1 \cdot [\cos (0^{\circ}) + i \cdot \sin (0^{\circ})] = 1 \cdot e^{i 0^{\circ}}$

Llavors, les $n$ arrels de la unitat estan donades per: $e^{i \frac{0^{\circ} + 360^{\circ} k}{n}} = e^{i \frac{360^{\circ} k}{n}}$

amb $k = 0, 1, 2, \dots, (n - 1)$ .

Llavors seran: $\begin{array}{ll} k = 0 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{0} = 1 \\ k = 1 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{i \frac{360^{\circ}}{n}} \\ k = 2 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{i \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{n}} \\ ⋮ & ⋮ \\ k = n - 1 & \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{n}} = e^{i \frac{(n - 1) \cdot 360^{\circ}}{n}} \end{array}$

En particular, per exemple, si $n = 3$ llavors les arrels són:

$k = 0 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{0} = 1$

$k = 1 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{360^{\circ}}{3}} = e^{i 120^{\circ}}$

$k = 2 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{3}} = e^{i 240^{\circ}}$

Si preferim expressar en forma trigonomètrica estesa, només cal fer:

$k = 0 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{0} = 1 \cdot [\cos (0^{\circ}) + i \cdot \sin (0^{\circ})]$

$k = 1 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{360^{\circ}}{3}} = e^{i 120^{\circ}} = 1 \cdot [\cos (120^{\circ}) + i \cdot \sin (120^{\circ})]$

$k = 2 \Rightarrow e^{i \frac{k 360^{\circ}}{3}} = e^{i \frac{2 \cdot 360^{\circ}}{3}} = e^{i 240^{\circ}} = 1 \cdot [\cos (240^{\circ}) + i \cdot \sin (240^{\circ})]$