Operacions amb complexos en forma binòmica

De la mateixa manera que sabem sumar i restar nombres reals: $2+2=4$, hem d'aprendre com funcionen aquestes operacions amb els nombres complexos representats en forma binòmica.

Vegem doncs, com s'ha de procedir si per exemple volem trobar el nombre complex que correspon a la solució de: $$(6-5i)+(3+9i)$$

Per a sumar dos nombres complexos representats en forma binòmica, simplement hem de sumar per separat cadascuna de les seves parts. És a dir, sumar les parts reals d'una banda i sumar les parts imaginàries d'altra banda.

En el nostre exemple tenim que les parts reals són $6$ i $3$, que sumant-los ens dóna $9$. Les parts imaginàries són $-5i$ i $9i$ de manera que si ho sumem ens queda $4i$. Així doncs, el resultat d'aquesta operació serà el nombre complex en forma binòmica que té part real el resultat de la suma de les parts reals i part imaginària el resultat de la suma de les parts imaginàries. És a dir, $9+4i$.

En general, per dos nombres complexos qualssevol, que expressarem genèricament com:

$$z_1=a+bi{z}_2=a^{\prime }+b^{\prime }i$$

La seva suma es defineix com: $$z_1+z_2=(a+bi)+(a{b}^{\prime }i)=(a+a^{\prime })+(b+b^{\prime })i$$

En el cas de voler restar dos nombres complexos es segueix igual, però en lloc de sumar les parts reals i les imaginàries per separat, ara es resten aquestes parts per separat. És a dir, efectuem els càlculs de les parts imaginàries i reals per separat i després ajuntem els resultats en el nombre complex $a+bi$ on $a$ és el resultat de fer la resta de les parts reals, i $b$ és el resultat de fer la resta de les parts complexes.

Vegem ara com procedir per resoldre productes de nombres complexos expressats en forma binòmica. Ho farem amb un exemple per anar entenent què s'ha de fer.

Busquem solució al producte: $$(3+9i)\cdot (4+2i)$$

El que farem és aplicar la propietat distributiva del producte respecte la suma. Això és: $${\displaystyle \begin{array}{rl}(3+9i)\cdot (4+2i)& =3\cdot 4+3\cdot 2i+9i\cdot 4+9i\cdot 2i\\ & =12+6i+36i+18i^2=12+42i+18i^2\end{array}}$$

Ara, tenint en compte que $i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1$ substituint en l'expressió anterior ens queda: $${\displaystyle \begin{array}{ll}(3+9i)\cdot (4+2i)& =12+42i+18i^2=12+42i+18(-1)\\ & =12-18+42i=-6+42i\end{array}}$$

Per tant, la part real del producte de dos complexos inclou també el factor que està multiplicant a $i^2$, atès que és $-1$.

Més generalment:

Per calcular el producte de dos nombres complexos qualssevol que denotarem genèricament com

$$z_1=a+bi$$

$$z_2=a^{\prime }+b^{\prime }i$$

el que haurem de fer és aplicar la fórmula que surt d'aplicar la propietat distributiva i la propietat que $i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1$.

Aquesta és: $$z_1\cdot z_2=(a+bi)(a^{\prime }+b^{\prime }i)=(a\cdot a^{\prime }-b\cdot b^{\prime })+(a\cdot b^{\prime }+b\cdot a^{\prime })i$$

Casos especials:

Què passa quan multipliquem imaginaris purs?

Recordem que un imaginari pur és aquell nombre complex de la forma $a+bi$ on la $a=0$ i per tant es té en realitat un múltiple de la unitat imaginària $i$.

Per tant, sempre que tinguem un producte de dos imaginaris purs el resultat ha de ser un nombre real.

De la mateixa manera que en el producte dels nombres reals hi ha un element neutre, que és l'$1$, també existeix per als nombres complexos. L'element neutre del producte és el complex $z=1+0i$, és a dir $z=1$.

Com veiem, coincideix amb el real $1$, que és l'element neutre dels reals. Per tant, qualsevol nombre complex $a+bi$ que multipliquem pel nombre $1+0i=1$ ens tornarà a donar el mateix $a+bi$.

Vegem com procedir per resoldre quocients de nombres complexos expressats en forma binòmica. Ho farem amb un exemple per anar entenent què s'ha de fer. Busquem solució al quocient:

$${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}$$

Del primer que ens adonem és que tenir una $i$ en el denominador és una cosa amb la qual no sabem treballar. Per això, el primer que farem és intentar fer-la desaparèixer d'aquest denominador. Per això, ens fixem que si multipliquem un nombre complex $a+bi$ pel complex $a-bi$, mitjançant la fórmula del producte s'aconsegueix: $$(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2⁻b^2\cdot i^2=a^2+b^2$$

Per tant, aconseguim un nombre sense part imaginària, és a dir, multiplicant per $(a-bi)$ aconseguim fer desaparèixer la $i$.

És per això que, tornant a l'exemple, per fer desaparèixer la $i$ del denominador (on tenim $2+i$), el que fem és multiplicar el denominador per $2-i$. Això és: $${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2-i}}$$

Però com que estem en realitat dividint per $2-i$, per no alterar l'expressió que volem calcular, hem de multiplicar a la vegada per $2-i$. Així: $${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}={\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}\cdot {\displaystyle \frac{2-i}{2-i}}$$

D'aquesta manera, si fem cada un dels productes tenim:

$(4+3i)\cdot (2-i)=(4\cdot 2-3\cdot (-1))+(4\cdot (-1)+3\cdot 2)i=$

$=(8+3)+(-4+6)i=11+2i$

$(2+i)\cdot (2-i)=2^2-i^2=4-(-1)=5$

El quocient ara és:

$${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}={\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}\cdot {\displaystyle \frac{2-i}{2-i}}={\displaystyle \frac{11+2i}{5}}$$

Ara, si ens fixem bé, atès que en el denominador no hi ha cap terme amb $i$, simplement podem separar la fracció en dues parts, $${\displaystyle \frac{11+2i}{5}}={\displaystyle \frac{11}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}i$$ que és un nombre complex amb part real ${\displaystyle \frac{11}{5}}$ i part imaginària ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Un cop vist això per a un exemple, vegem com és la forma general.

Per aprendre a resoldre quocients de nombres complexos, primer definirem el que és el conjugat d'un nombre complex. Donat un complex $z=a+bi$ el seu complex conjugat és el nombre $\overline{z}=a-bi$. És a dir, canviem el signe de la part imaginària. Es representa mitjançant una ratlla sobre del complex, $\overline{z}$.

Si la part imaginària és positiva, la del seu conjugat és negativa.

Si la part imaginària és negativa, la del seu conjugat és positiva.

Un cop definit el conjugat d'un complex, anem a procedir a explicar el mètode per fer quocients de nombres complexos.

Donats dos nombres complexos $$z_1=a+bi$$ $$z_2=a^{\prime }+b^{\prime }i$$

El seu quocient es calcula:

Primer el que hem d'aconseguir és fer desaparèixer la $i$ del denominador. Per a això multipliquem i dividim el quocient pel conjugat del denominador, de manera que desapareix la part imaginària d'aquest. Això és: $${\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}\cdot {\displaystyle \frac{a^{\prime }-b^{\prime }i}{a^{\prime }-b^{\prime }i}}$$

Com que el denominador és $a^{\prime }+b^{\prime }i$ el seu conjugat serà $a^{\prime }+b^{\prime }i$.

Ara, fem els productes que tenim, tant en el numerador com en el denominador, mitjançant el procediment explicat anteriorment. Així obtenim: $${\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}\cdot {\displaystyle \frac{a^{\prime }-b^{\prime }i}{a^{\prime }-b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{(a\cdot a^{\prime }-b\cdot b^{\prime })+(a\cdot b^{\prime }+b\cdot a^{\prime })i}{(a^{\prime }{)}^2+(b^{\prime }{)}^2}}$$

Un cop s'han ajuntat i realitzat totes les operacions, sols ens queda separar la fracció en dues parts, la real i la imaginària. Ja tenim el nombre complex resultat del quocient dels dos nombres complexos de l'enunciat.

Recordem que no es pot dividir pel nombre complex $0$, perquè no té sentit. Està totalment prohibit. El que sí podem fer és dividir per un nombre complex que només tingui part real, o també que només tingui part imaginària, però mai amb un que tingui les dues parts iguals a zero.

Per treballar amb el quocient hem definit el nombre conjugat d'un complex. Però, a més, també existeix el que s'anomena l'oposat d'un nombre complex. En aquest cas, el que canviem de signe no és només la part imaginària (com en el conjugat), sinó també la part real. Per tant, si tenim un nombre complex $z=a+bi$, el seu número oposat, que denotarem amb un signe menys davant serà: $-z=-(a+bi)=-a-bi$.