Operaciones con complejos en forma binómica

De la misma manera que sabemos sumar y restar números reales: $2+2=4$, debemos aprender cómo funcionan éstas operaciones con los números complejos representados en forma binómica.

Veamos pues, como se debe proceder si por ejemplo queremos encontrar el número complejo que corresponde a la solución de: $$(6-5i)+(3+9i)$$

Para sumar dos números complejos representados en forma binómica, debemos simplemente sumar por separado cada una de sus partes. Esto es, sumar las partes reales por un lado y sumar las partes imaginarias por otro lado.

En nuestro ejemplo tenemos que las partes reales son $6$ y $3$, que sumándolas nos da $9$. Las partes imaginarias son $-5i$ y $9i$ de manera que si lo sumamos nos quedan $4i$. Así pues, el resultado de dicha operación será el número complejo en fórma binómica que tiene parte real el resultado de la suma de las partes reales y parte imaginaria el resultado de la suma de las partes imaginarias. Es decir, $9+4i$.

En general, para dos números complejos cualesquiera, que expresaremos genéricamente como:

$$z_1=a+bi{z}_2=a^{\prime }+b^{\prime }i$$

Su suma se define como: $$z_1+z_2=(a+bi)+(a{b}^{\prime }i)=(a+a^{\prime })+(b+b^{\prime })i$$

En el caso de querer restar dos números complejos se sigue igual, pero en lugar de sumar las partes reales y las imaginarias por separado, ahora se restan esas partes por separado. Es decir, efectuamos los cálculos de las partes imaginarias y reales por separado y luego juntamos los resultados en el número complejo $a+bi$ donde $a$ es el resultado de hacer la resta de las partes reales y $b$ es el resultado de hacer la resta de las partes complejas.

Veamos cómo proceder para resolver productos de números complejos expresados en forma binómica. Lo haremos con un ejemplo para ir entendiendo qué se debe hacer.

Busquemos solución al producto: $$(3+9i)\cdot (4+2i)$$

Lo que haremos es aplicar la propiedad distributiva del producto respecto la suma. Esto es: $${\displaystyle \begin{array}{rl}(3+9i)\cdot (4+2i)& =3\cdot 4+3\cdot 2i+9i\cdot 4+9i\cdot 2i\\ & =12+6i+36i+18i^2=12+42i+18i^2\end{array}}$$

Ahora, teniendo en cuenta que $i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1$ sustituyendo en la expresión anterior nos queda: $${\displaystyle \begin{array}{rl}(3+9i)\cdot (4+2i)& =12+42i+18i^2=12+42i+18(-1)\\ & =12-18+42i=-6+42i\end{array}}$$

Por lo tanto, la parte real del producto de dos complejos incluye también el factor que está multiplicando a $i^2$, dado que es $-1$.

En general:

Para calcular el producto de dos números complejos cualesquiera que denotaremos genéricamente como

$$z_1=a+bi$$

$$z_2=a^{\prime }+b^{\prime }i$$

lo que deberemos hacer es aplicar la siguiente fórmula que sale de aplicar la propiedad distributiva y la propiedad que $i=\sqrt{-1}\Rightarrow i^2=-1$.

Ésta es: $$z_1\cdot z_2=(a+bi)(a^{\prime }+b^{\prime }i)=(a\cdot a^{\prime }-b\cdot b^{\prime })+(a\cdot b^{\prime }+b\cdot a^{\prime })i$$

Casos especiales:

¿Qué pasa cuando multiplicamos imaginarios puros?

Recordemos que un imaginario puro es aquel número complejo de la forma $a+bi$ donde la $a=0$ y por lo tanto se tiene en realidad un múltiplo de la unidad imaginaria $i$.

Por lo tanto siempre que tengamos un producto de dos imaginarios puros el resultado debe salirnos un número real.

De la misma forma que en el producto de los números reales existe un elemento neutro, que es el $1$, también existe para los números complejos. El elemento neutro del producto es el complejo $z=1+0i$, es decir $z=1$.

Como vemos, coincide con el real $1$, que es el elemento neutro de los reales. Por lo tanto, cualquier número complejo $a+bi$ que multipliquemos por el número $1+0i=1$ nos volverá a dar el propio $a+bi$.

Veamos cómo proceder para resolver cocientes de números complejos expresados en forma binómica. Lo haremos con un ejemplo para ir entendiendo qué se debe hacer.

Busquemos solución al cociente: $${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}$$

De lo primero que nos damos cuenta es que tener una $i$ en el denominador es algo con lo que no sabemos trabajar. Por eso lo primero que haremos es intentar hacerla desaparecer de dicho denominador. Para ello, nos fijamos que si multiplicamos un número complejo $a+bi$ por el complejo $a-bi$, mediante la fórmula del producto del nivel anterior se consigue: $$(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2⁻b^2\cdot i^2=a^2+b^2$$

Por lo tanto, conseguimos un número sin parte imaginaria; es decir: multiplicando por $(a-bi)$ conseguimos hacer desaparecer la $i$.

Es por eso que, volviendo al ejemplo, para hacer desaparecer la $i$ del denominador (donde tenemos $2+i$), lo que hacemos es multiplicar el denominador por $2-i$. Esto es: $${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2-i}}$$

Pero como estamos en realidad dividiendo por $2-i$, para no alterar la expresión que queremos calcular debemos, a la vez, multiplicar por $2-i$. Así: $${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}={\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}\cdot {\displaystyle \frac{2-i}{2-i}}$$

De esta manera, si hacemos cada uno de los productos tenemos:

$(4+3i)\cdot (2-i)=(4\cdot 2-3\cdot (-1))+(4\cdot (-1)+3\cdot 2)i=$

$=(8+3)+(-4+6)i=11+2i$

$(2+i)\cdot (2-i)=2^2-i^2=4-(-1)=5$

Por lo que el cociente ahora es:

$${\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}={\displaystyle \frac{4+3i}{2+i}}\cdot {\displaystyle \frac{2-i}{2-i}}={\displaystyle \frac{11+2i}{5}}$$

Ahora, si nos fijamos bien, dado que en el denominador no hay ningún término con $i$, simplemente podemos separar la fracción en dos partes, $${\displaystyle \frac{11+2i}{5}}={\displaystyle \frac{11}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}i$$ que es un número complejo con parte real ${\displaystyle \frac{11}{5}}$ y parte imaginaria ${\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Una vez visto esto para un ejemplo, veamos cómo es la forma general.

Para aprender a resolver cocientes de números complejos, primero definiremos lo que es el conjugado de un número complejo. Dado un complejo $z=a+bi$ su complejo conjugado es el número $\overline{z}=a-bi$. Es decir, cambiamos el signo de la parte imaginaria. Se representa mediante una raya encima del complejo, $\overline{z}$.

Si la parte imaginaria es positiva, la de su conjugado es negativa.

Si la parte imaginaria es negativa, la de su conjugado es positiva.

Una vez definido conjugado de un complejo, vamos a proceder a explicar el método para hacer cocientes de números complejos.

Dados dos números complejos $$z_1=a+bi$$ $$z_2=a^{\prime }+b^{\prime }i$$

Su cociente se calcula:

Primero lo que debemos conseguir es hacer desaparecer la $i$ del denominador. Para ello multiplicamos y dividimos el cociente por el conjugado del denominador, de manera que desaparece la parte imaginaria de este. Esto es: $${\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}\cdot {\displaystyle \frac{a^{\prime }-b^{\prime }i}{a^{\prime }-b^{\prime }i}}$$

Puesto que el denominador es $a^{\prime }+b^{\prime }i$ su conjugado será $a^{\prime }+b^{\prime }i$.

Ahora, hacemos los productos que tenemos, tanto en el numerador como en el denominador, mediante el procedimiento explicado anteriormente. Así obtenemos: $${\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{a+bi}{a^{\prime }+b^{\prime }i}}\cdot {\displaystyle \frac{a^{\prime }-b^{\prime }i}{a^{\prime }-b^{\prime }i}}={\displaystyle \frac{(a\cdot a^{\prime }-b\cdot b^{\prime })+(a\cdot b^{\prime }+b\cdot a^{\prime })i}{(a^{\prime }{)}^2+(b^{\prime }{)}^2}}$$

Una vez se han juntado y realizado todas las operaciones, nos queda solo separar la fracción en dos partes, la real y la imaginaria. Ya tenemos el número complejo resultado del cociente de los dos números complejos del enunciado.

Recordemos que no se puede dividir por el número complejo $0$, porque no tiene sentido. Está totalmente prohibido. Lo que sí podemos hacer es dividir por un número complejo que sólo tenga parte real, o también que solo tenga parte imaginaria, pero nunca con uno que tenga ambas partes nulas.

Para trabajar con el cociente hemos definido el número conjugado de un complejo. Pero además, también existe lo que se llama el opuesto de un número complejo. En este caso, lo que cambiamos de signo no es solo la parte imaginaria (como en el conjugado), sino también la parte real. Por lo tanto, si tenemos un número complejo $z=a+bi$, su número opuesto, que denotaremos con un signo menos delante será: $-z=-(a+bi)=-a-bi$.