Definición de números complejos

Sabemos que $2\cdot 2=4$ y que entonces $2$ es la raíz de $4$. Sabemos que $5\cdot 5=25$ y que entonces $5$ es la raíz de $25$.

¿Pero qué pasa cuando queremos determinar la raíz de $-4$? ¿Cómo encontramos un número que multiplicado por él mismo dé $-4$?

Como se estudia en el tema de la raíz cuadrada, no existía ningún número real que fuera solución de una raíz cuadrada negativa. Es decir, una raíz cuadrada del estilo $\sqrt{-4}$ o $\sqrt{-25}$ no tenía solución en el conjunto de los números reales. Es por eso, que se inventaron los números imaginarios o también llamados complejos. Para poder dar solución a raíces cuadradas de números negativos. Cualquier raíz cuadrada de un número negativo se puede escribir como $\sqrt{-a}$ que mediante las propiedades de las raíces podemos expresar como:

$$\sqrt{-a}=\sqrt{(a)\cdot (-1)}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-1}$$

Como la raíz cuadrada de un número positivo ya la sabemos calcular y sabemos que existe, lo único que se debía inventar era la raíz cuadrada de $-1$. A este número se le bautizó como unidad imaginaria y se denota por $i$.

$$\sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{a}\cdot i\text{dado que}i=\sqrt{-1}$$

Los números complejos, o también llamados números imaginarios, nacen pues para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Debido a esto, se encuentran además soluciones para ecuaciones que antes tampoco tenían solución real posible.

Así, se define el número $i$, llamada unidad imaginaria, que es $i=\sqrt{-1}$ que permite decir que la anterior ecuación de segundo grado tiene solución, o también permite decir que sabemos calcular la raíz cuadrada de cualquier número negativo.

Una vez definida la unidad imaginaria, presentaremos los números complejos: o sea el conjunto de todos ellos.

Un número complejo cualquiera se describe como la suma de un número real y un número imaginario ( que en definitiva es un múltiplo de la unidad imaginaria, ya definida, que se indica con la letra $i$). Por lo tanto se pueden entender los números complejos como el elemento $z$ formado por:

$$z=a+bi$$

donde se llamará:

• $a$ parte real.
• $b$ parte imaginaria (por ser el coeficiente que acompaña la unidad imaginaria $i$).

Veamos algunos ejemplos de números imaginarios expresados en esta forma $z=a+bi$ a la que llamaremos forma binómica.

Veamos algunos casos especiales.

Si $b=0$, el número complejo se reduce a un $z$ de la forma $z=a+0\cdot i=a$ y por lo tanto es un número real, ya que no existe parte imaginaria. Es por eso que los reales son un subconjunto de los complejos.

Si $a=0$, el número complejo se reduce a un $z$ de la forma $z=0+b\cdot i=bi$, por lo tanto es un múltiplo de la unidad imaginaria, y se dice que es un número imaginario puro.

Si $a=b=0$, tenemos el número complejo $z=0+0\cdot i=0$, que es llamado el número complejo cero y se escribe solamente $0$.

Los números complejos o imaginarios son una extensión de los números reales, y se caracterizan porque dan todas las raíces de los polinomios. Es decir, para cualquier polinomio con coeficientes reales, siempre tendrá todas las soluciones en el cuerpo de los números complejos. Se debe notar que en los números complejos no existe un orden total como se está acostumbrado con los reales, es por eso que no se pueden comparar dos complejos en la manera que se hace normalmente con los reales. Lo que sí podemos hacer es establecer un criterio para determinar si dos números complejos son iguales o no entre ellos. Para que dos números imaginarios sean iguales debe cumplirse que:

• Las partes reales de los dos números deben ser idénticamente iguales.
• Las partes imaginarias de los dos números deben ser también idénticamente iguales.

Es decir, $$a+bi=a^{\prime }+b^{\prime }i⟺a=a^{\prime }\text{y}b=b^{\prime }$$