Ejercicios de Definición de números complejos

Desarrollo:

Si deben tener un múltiplo de la unidad imaginaria lo más fácil es coger un múltiplo cualquiera (es decir un número cualquiera multiplicando $i$): $$12i=x\Rightarrow (12i{)}^2=x^2\Rightarrow 144i^2=x^2\Rightarrow -144=x^2\Rightarrow x^2+144=0$$ tiene $12i$ como solución, y $12i$ es múltiplo de la unidad imaginaria $i$. De la misma forma se obtiene que $x^2+169=0$ tiene un múltiplo de $i$ como solución que de hecho es $13i$.

Solución:

$x^2+144=0$ y $x^2+169=0$.

Ocultar desarrollo y solución

Desarrollo:

El primero es un número complejo, pero no es imaginario puro pues tiene parte real. El número complejo imaginario puro es $\sqrt{-27}$. Lo es porque es un múltiplo de la unidad imaginaria.

Solución:

El único imaginario puro es $\sqrt{-27}$.

Ocultar desarrollo y solución

Desarrollo:

1. $3x^2+27=0\Rightarrow 3x^2=-27\Rightarrow x=\pm \sqrt{-{\displaystyle \frac{27}{3}}}=\pm 3i$
2. $8x^2+4x-2=0\Rightarrow$ ${\displaystyle \begin{array}{rl}x& =\frac{-4\pm \sqrt{16-4\cdot 8\cdot 2}}{16}=\frac{-4\pm \sqrt{-48}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{48}}{16}\\ & =\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{2^4\cdot 3}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\cdot 2^2\sqrt{3}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{3}}{4}\end{array}}$

Solución:

1. $x=\pm 3i$
2. $x_1={\displaystyle \frac{-1}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i{x}_2={\displaystyle \frac{-1}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i$

Ocultar desarrollo y solución