Ejercicios de Definición de números complejos

Desarrollo:

Si deben tener un múltiplo de la unidad imaginaria lo más fácil es coger un múltiplo cualquiera (es decir un número cualquiera multiplicando $$i$$): $$$12i=x \ \Rightarrow \ (12i)^2=x^2 \ \Rightarrow \ 144i^2=x^2 \ \Rightarrow \ -144=x^2 \ \Rightarrow \ x^2+144=0$$$ tiene $$12i$$ como solución, y $$12i$$ es múltiplo de la unidad imaginaria $$i$$. De la misma forma se obtiene que $$x^2+169=0$$ tiene un múltiplo de $$i$$ como solución que de hecho es $$13i$$.

Solución:

$$ x^2+144=0 \quad $$ y $$ \quad x^2+169=0$$.

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Desarrollo:

El primero es un número complejo, pero no es imaginario puro pues tiene parte real. El número complejo imaginario puro es $$\sqrt{-27}$$. Lo es porque es un múltiplo de la unidad imaginaria.

Solución:

El único imaginario puro es $$\sqrt{-27}$$.

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Desarrollo:

1. $$3x^2+27=0 \ \Rightarrow \ 3x^2=-27 \ \Rightarrow \ x=\pm \sqrt{-\dfrac{27}{3}}=\pm 3i$$
2. $$8x^2+4x-2=0 \ \Rightarrow$$ $$ \displaystyle \begin{array}{rl} x &=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot8\cdot2}}{16}= \frac{-4\pm\sqrt{-48}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{48}}{16}\\ &=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{2^4\cdot3}}{16} = \frac{-1}{4}\pm \frac{i\cdot 2^2\sqrt{3}}{16}= \frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{3}}{4} \end{array} $$

Solución:

1. $$x=\pm 3i$$
2. $$x_1= \dfrac{-1}{4}+ \dfrac{\sqrt{3}}{4}i \qquad x_2= \dfrac{-1}{4}- \dfrac{\sqrt{3}}{4}i $$

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