Exercicis de Definició de nombres complexos

Desenvolupament:

Si han de tenir un múltiple de la unitat imaginària el més fàcil és agafar un múltiple qualsevol (és a dir un nombre qualsevol multiplicant $i$): $$12i=x\Rightarrow (12i{)}^2=x^2\Rightarrow 144i^2=x^2\Rightarrow -144=x^2\Rightarrow x^2+144=0$$ té $12i$ com a solució, i $12i$ és múltiple de la unitat imaginària $i$. De la mateixa manera, s'obté que $x^2+169=0$ té un múltiple de $i$ com a solució que de fet és $13i$.

Solució:

$x^2+144=0$ i $x^2+169=0$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

El primer és un imaginari però no és pur ja que té part real.El nombre complex imaginari pur és $\sqrt{-27}$. Ho és perquè és un múltiple de la unitat imaginària.

Solució:

L'únic imaginari pur és $\sqrt{-27}$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. $3x^2+27=0\Rightarrow 3x^2=-27\Rightarrow x=\pm \sqrt{-{\displaystyle \frac{27}{3}}}=\pm 3i$
2. $8x^2+4x-2=0\Rightarrow$ ${\displaystyle \begin{array}{rl}x& =\frac{-4\pm \sqrt{16-4\cdot 8\cdot 2}}{16}=\frac{-4\pm \sqrt{-48}}{16}={\displaystyle \frac{-1}{4}}\pm \frac{i\sqrt{48}}{16}\\ & =\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{2^4\cdot 3}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\cdot 2^2\sqrt{3}}{16}=\frac{-1}{4}\pm \frac{i\sqrt{3}}{4}\end{array}}$

Solució:

1. $x=\pm 3i$
2. $x_1={\displaystyle \frac{-1}{4}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i{x}_2={\displaystyle \frac{-1}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}i$

Amagar desenvolupament i solució