Definició de nombres complexos

Sabem que $2\cdot 2=4$ i que llavors $2$ és l'arrel de $4$. Sabem que $5\cdot 5=25$ i que llavors $5$ és l'arrel de $25$.

Però què passa quan volem determinar l'arrel de $-4$? Com trobem un nombre que multiplicat per ell mateix doni $-4$?

Tal com s'estudia al tema de l'arrel quadrada, no existeix cap nombre real que sigui solució d'una arrel quadrada negativa. És a dir, una arrel quadrada de l'estil $\sqrt{-4}$ o $\sqrt{-25}$ no té solució en el conjunt dels nombres reals. És per això, que es van inventar els nombres imaginaris o també anomenats complexos. Per a poder donar solució a arrels quadrades de nombres negatius. Qualsevol arrel quadrada d'un nombre negatiu es pot escriure com $\sqrt{-a}$ que mitjançant les propietats de les arrels podem expressar com:

$$\sqrt{-a}=\sqrt{(a)\cdot (-1)}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-1}$$

Com l'arrel quadrada d'un nombre positiu ja la sabem calcular i sabem que existeix, l'únic que s'havia d'inventar era l'arrel quadrada de $-1$. Aquest nombre es va batejar com a unitat imaginària i es denota per $i$.

$$\sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{a}\cdot i\text{atès que}i=\sqrt{-1}$$

Els números complexos, o també anomenats nombres imaginaris, neixen per donar sentit a l'arrel quadrada de nombres negatius. Causa d'això, es troben a més solucions per equacions que abans tampoc tenien solució real possible.

Així, es defineix el nombre $i$, també anomenada unitat imaginària, que és $i=\sqrt{-1}$ que permet dir que l'anterior equació de segon grau té solució, o també permet dir que sabem calcular l'arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu.

Un cop definida la unitat imaginària, presentarem els nombres complexos, és a dir, el conjunt de tots ells.

Un nombre complex qualsevol es descriu com la suma d'un nombre real i un nombre imaginari (que en definitiva és un múltiple de la unitat imaginària, ja definida, que s'indica amb la lletra $i$). Per tant, es poden entendre els nombres complexos com l'element $z$ format per:

$$z=a+bi$$

on anomenarem:

• $a$ part real.
• $b$ part imaginària (per ser el coeficient que acompanya a la unitat imaginària $i$).

Vegem alguns exemples de nombres imaginaris expressats en aquesta forma $z=a+bi$ a la qual anomenarem forma binòmica.

Vegem alguns casos especials.

Si $b=0$, el nombre complex es redueix a un $z$ de la forma $z=a+0\cdot i=a$ i per tant és un nombre real, ja que no existeix part imaginària. És per això que els reals són un subconjunt dels complexos.

Si $a=0$, el nombre complex es redueix a un $z$ de la forma $z=0+b\cdot i=bi$, per tant és un múltiple de la unitat imaginària i es diu que és un nombre imaginari pur.

Si $a=b=0$, tenim el nombre complex $z=0+0\cdot i=0$, que és anomenat el nombre complex zero i s'escriu només $0$.

Els números complexos o imaginaris són una extensió dels nombres reals i es caracteritzen perquè donen totes les arrels dels polinomis. És a dir, per a qualsevol polinomi amb coeficients reals, sempre tindrà totes les solucions en el cos dels nombres complexos. Cal notar que en els nombres complexos no hi ha un ordre total com s'està acostumat amb els reals, és per això que no es poden comparar dos complexos en la manera que es fa normalment amb els reals. El que sí podem fer és establir un criteri per determinar si dos nombres complexos són iguals o no entre ells. Per a que dos nombres imaginaris siguin iguals s'ha de complir que:

• Les parts reals dels dos nombres han de ser idènticament iguals.
• Les parts imaginàries dels dos números han de ser també idènticament iguals.

És a dir:

$$a+bi=a^{\prime }+b^{\prime }i⟺a=a^{\prime }\text{i}b=b^{\prime }$$