Potències de la unitat imaginària

La unitat imaginària $i$ es pot multiplicar per ella mateixa com qualsevol nombre real, obtenint llavors el que es diuen les potències de la unitat imaginària.

Així doncs, es treballa de la següent manera:

per conveni s'estableix que $i^{0} = 1$ , com passa amb qualsevol altre nombre real.
per a les quatre primeres potències es té:

$i^{1} = i$

$i^{2} = i \cdot i = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = (\sqrt{- 1})^{2} = - 1$

$i^{3} = i^{2} \cdot i = (- 1) \cdot i = - i$

$i^{4} = i^{3} \cdot i = (- i) \cdot i = - (i^{2}) = - (- 1) = 1$

On cadascuna de les potències s'obté multiplicant l'anterior per $i$ .
les següents potències es poden calcular a partir de les anteriorment calculades. Vegem com segueixen:

$i^{5} = i^{4} \cdot i = 1 \cdot i = i = i^{1}$

$i^{6} = i^{5} \cdot i = i \cdot i = i^{2}$

$i^{7} = i^{6} \cdot i = i^{2} \cdot i = i^{3}$

$i^{8} = i^{7} \cdot i = i^{3} \cdot i = i^{4}$

Així doncs, formen una successió periòdica, ja que els valors de les quatre primeres potències que són $i, - 1, - i, 1$ es repeteixen indefinidament. Això és perquè si es vol la potència enèsima de la unitat imaginària (és a dir, es vol calcular $i^{n}$ ), aquesta coincideix amb la potència de que té com a exponent la resta de la divisió de $n$ entre $4$ .

És a dir, $i^{n} = i^{4 q + r}$ on $n = 4 q + r$ és la divisió euclidiana. Un cop tenim això, mitjançant les propietats de les potències podem escriure: $i^{n} = i^{4 q + r} = i^{4 q} \cdot i^{r} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r}$ però com hem vist que $i^{4} = 1$ llavors això ens queda: $i^{n} = (i^{4})^{q} \cdot i^{r} = (1)^{q} \cdot i^{r} = i^{r}$

Així doncs, només cal que calculem $i^{r}$ on $r$ correspon a la resta de la divisió de $n$ entre $4$ .

De manera que ràpidament es pot calcular $i^{n} = i^{r}$ que sempre serà una de les potències anteriorment calculades, ja que $r$ només pot ser $0$ , $1$ , $2$ o $3$ .

Exemple

Vegem alguns exemples:

$i^{347}$ sembla una potència molt difícil, però si fem la divisió de $347$ entre $4$ obtenim $347 = 4 \cdot 86 + 3$ de manera que la resta és $3$ . Per això podem escriure:

$i^{347} = i^{4 \cdot 86} \cdot i^{3} = i^{3}$

Llavors mirem la taula que hem escrit anteriorment amb les primeres quatre potències de $i$ i observem que $i^{3} = - i$ . Pel que ens quedarà:

$i^{347} = i^{3} = - i$

Què passa en el cas de tenir una potència negativa?

Si volem calcular $i^{- n}$ només ho hem d'escriure de la següent manera: $i^{- n} = \frac{1}{i^{n}}$ . Llavors resolem el denominador com s'ha explicat per potències positives de $i$ i després es torna a escriure al denominador.

Exemple

És a dir, per exemple: $i^{- 89} = \frac{1}{i^{89}}$

Per això calcularem primer $i^{89}$ . Mitjançant el procediment anterior, si calculem la divisió de $89$ entre $4$ obtenim $89 = 4 \cdot 22 + 1$ , pel que la resta és $1$ . Així tenim: $i^{89} = i^{4 \cdot 22} \cdot i^{1} = i$

Un cop tenim això, reescrivim el que estàvem buscant i obtenim: $i^{- 89} = \frac{1}{i^{89}} = \frac{1}{i}$

Si preferim que la unitat imaginària quedi en el numerador, podem fer com sempre que volem fer desaparèixer del denominador, és a dir, multiplicar i dividir pel seu conjugat. Això és: $\frac{1}{i} \cdot \frac{- i}{- i} = \frac{- i}{i \cdot (- i)} = \frac{- i}{- i^{2}} = \frac{- i}{- (- 1)} = - i$