La unitat imaginària $$i$$ es pot multiplicar per ella mateixa com qualsevol nombre real, obtenint llavors el que es diuen les potències de la unitat imaginària.
Així doncs, es treballa de la següent manera:
- per conveni s'estableix que $$i^0=1$$, com passa amb qualsevol altre nombre real.
-
per a les quatre primeres potències es té:
$$i^1=i$$
$$i^2=i\cdot i= \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$$
$$i^3=i^2\cdot i= (-1)\cdot i= -i$$
$$i^4=i^3\cdot i= (-i)\cdot i= -(i^2) =-(-1)=1$$
On cadascuna de les potències s'obté multiplicant l'anterior per $$i$$.
-
les següents potències es poden calcular a partir de les anteriorment calculades. Vegem com segueixen:
$$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i=i^1$$
$$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2$$
$$i^7=i^6\cdot i=i^2\cdot i=i^3$$
$$i^8=i^7\cdot i=i^3\cdot i=i^4$$
Així doncs, formen una successió periòdica, ja que els valors de les quatre primeres potències que són $$ \ i,\; -1,\; -i,\; 1 \ $$ es repeteixen indefinidament. Això és perquè si es vol la potència enèsima de la unitat imaginària (és a dir, es vol calcular $$i^n$$), aquesta coincideix amb la potència de que té com a exponent la resta de la divisió de $$n$$ entre $$4$$.
És a dir, $$ i^n=i^{4q+r} \ $$ on $$n=4q+r$$ és la divisió euclidiana. Un cop tenim això, mitjançant les propietats de les potències podem escriure: $$$i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r= (i^4)^q\cdot i^r$$$ però com hem vist que $$i^4=1$$ llavors això ens queda: $$$ i^n=(i^4)^q\cdot i^r=(1)^q \cdot i^r=i^r$$$
Així doncs, només cal que calculem $$i^r$$ on $$r$$ correspon a la resta de la divisió de $$n$$ entre $$4$$.
De manera que ràpidament es pot calcular $$i^n=i^r$$ que sempre serà una de les potències anteriorment calculades, ja que $$r$$ només pot ser $$0$$, $$1$$, $$2$$ o $$3$$.
Vegem alguns exemples:
$$i^{347}$$ sembla una potència molt difícil, però si fem la divisió de $$347$$ entre $$4$$ obtenim $$347=4\cdot 86+3$$ de manera que la resta és $$3$$. Per això podem escriure:
$$i^{347}=i^{4\cdot 86}\cdot i^3= i^3$$
Llavors mirem la taula que hem escrit anteriorment amb les primeres quatre potències de $$i$$ i observem que $$i^3=-i$$. Pel que ens quedarà:
$$i^{347}=i^3=-i$$
Què passa en el cas de tenir una potència negativa?
Si volem calcular $$i^{-n}$$ només ho hem d'escriure de la següent manera: $$i^{-n}= \dfrac{1}{i^n}$$. Llavors resolem el denominador com s'ha explicat per potències positives de $$i$$ i després es torna a escriure al denominador.
És a dir, per exemple: $$$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}$$$
Per això calcularem primer $$i^{89}$$. Mitjançant el procediment anterior, si calculem la divisió de $$89$$ entre $$4$$ obtenim $$89=4\cdot 22+1$$, pel que la resta és $$1$$. Així tenim: $$$i^{89}=i^{4\cdot 22}\cdot i^1=i$$$
Un cop tenim això, reescrivim el que estàvem buscant i obtenim: $$$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}=\dfrac{1}{i}$$$
Si preferim que la unitat imaginària quedi en el numerador, podem fer com sempre que volem fer desaparèixer del denominador, és a dir, multiplicar i dividir pel seu conjugat. Això és: $$$\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-i}{i\cdot(-i)}= \dfrac{-i}{-i^2}= \dfrac{-i}{-(-1)}=-i $$$