Potencias de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria i se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria.

Así pues, se trabaja de la siguiente manera:

  • por convenio se establece que i0=1, como pasa con cualquier otro número real.
  • para las cuatro primeras potencias se tiene:

    i1=i

    i2=ii=11=(1)2=1

    i3=i2i=(1)i=i

    i4=i3i=(i)i=(i2)=(1)=1

    Donde cada una de las potencias se obtiene multiplicando la anterior por i.

  • las siguientes potencias se pueden calcular a partir de las anteriormente calculadas.Veamos como siguen:

    i5=i4i=1i=i=i1

    i6=i5i=ii=i2

    i7=i6i=i2i=i3

    i8=i7i=i3i=i4

Así pues, forman una sucesión periódica, pues los valores de las cuatro primeras potencias que son  i,1,i,1  se repiten indefinidamente. Esto es porque si se quiere la potencia enésima de la unidad imaginaria (es decir, se quiere calcular in), ésta coincide con la potencia de i que tiene por exponente el resto de la división de n entre 4.

Es decir, in=i4q+r  donde n=4q+r es la división euclídea común. Una vez tenemos esto, mediante las propiedades de las potencias podemos escribir: in=i4q+r=i4qir=(i4)qir pero como hemos visto que i4=1 entonces esto nos queda: in=(i4)qir=(1)qir=ir

Así pues, basta que calculemos ir donde r corresponde al resto de la división de n entre 4.

De manera que rápidamente se puede calcular in=ir qque siempre será una de las potencias anteriormente calculadas, dado que r sólo puede ser 0, 1, 2 o 3.

Ejemplo

Veamos algunos ejemplos:

i347 parece una potencia muy difícil, pero si hacemos la división de 347 entre 4 obtenemos 347=486+3 de manera que el resto es 3. Por eso podemos escribir:

i347=i486i3=i3

Entonces miramos la tabla que hemos escrito anteriormente con las primero cuatro potencias de i y observamos que i3=i. Por lo que nos quedará:

i347=i3=i

¿Qué pasa en el caso de tener una potencia negativa?

Si queremos calcular in solo debemos escribirlo de la siguiente manera: in=1in. Entonces resolvemos el denominador como se ha explicado para potencias positivas de i y luego se vuelve a escribir en el denominador.

Ejemplo

Es decir, por ejemplo: i89=1i89

Por eso calcularemos primero i89. Mediante el procedimiento anterior, si calculamos la división de 89 entre 4 obtenemos 89=422+1, por lo que el resto es 1. Así tenemos: i89=i422i1=i

Una vez tenemos esto, reescribimos lo que estábamos buscando y obtenemos: i89=1i89=1i

Si preferimos que la unidad imaginaria quede en el numerador, podemos hacer como siempre que queremos hacer desaparecerla del denominador, es decir multiplicar y dividir por su conjugado. Esto es: 1iii=ii(i)=ii2=i(1)=i