Potencias y raíces de complejos en forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)

Veamos cómo queda la expresión para el cálculo de la potencia enésima de un número complejo que viene expresado en forma trigonométrica. Consideramos el producto de $n$ números complejos en forma trigonométrica:

$$(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )]{)}^n=$$

$$=(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )])\stackrel{(n)}{\cdots }(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )])=$$

$$=|z{|}^n\cdot [\cos (n\alpha )+i\cdot \sin (n\alpha )]$$

Esta fórmula es la que nos da la potencia enésima de un complejo en forma trigonométrica y se debe a Moivre.

Una vez se sabe trabajar la potenciación, se puede empezar con la radicación.

Dado un número complejo, todo otro número complejo que elevado a la potencia enésima dé un resultado igual al primero, se dice que es una raíz enésima de éste.

Veamos que dado un número complejo cualquiera cuyo módulo y argumento representaremos por $R$ y $\varphi$ respectivamente, siempre tiene raíces enésimas, y precisamente el número de éste es $n$.

En virtud de la definición, la condición para que $|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )]$ sea una raíz enésima es: $$(|z|\cdot [\cos (\alpha )+i\cdot \sin (\alpha )]{)}^n=R\cdot [\cos (\varphi )+i\cdot \sin (\varphi )]$$

Entonces, los dos números representados por el primer y segundo miembro de ésta igualdad han de ser iguales, por lo tanto, deberán tener el mismo módulo y sus argumentos deberán diferir en un número exacto de circunferencias, es decir:

$$|z{|}^n=R\text{ y }n\alpha =\varphi +k\cdot {360}^{\circ }$$

El módulo $|z|$ de la raíz buscada, queda perfectamente determinado por la primera de éstas ecuaciones, ya que ha de ser un número positivo cuya potencia enésima iguale a $R$, así: $$|z|=\sqrt[n]{R}$$ Se tiene pues que $|z|$ es la raíz enésima aritmética de $R$.

En cuanto al argumento $\alpha$, la segunda ecuación nos da que: $$\alpha ={\displaystyle \frac{\varphi }{n}}+{\displaystyle \frac{k\cdot {360}^{\circ }}{n}}$$

A primera vista podría parecer que $\alpha$ tiene infinitos valores, pero en realidad, para $k=0$ hasta $k=n-1$ obtendremos $n$ argumentos diferentes, y a partir de los siguientes $k$ obtendremos los mismos números complejos que ya habíamos encontrado, dado que serán los mismos pero con algunas vueltas enteras más.

En resumen, todo número complejo no nulo $R\cdot [\cos (\varphi )+i\cdot \sin (\varphi )]$ tiene $n$ raíces enésimas distintas, cuyo módulo que es el mismo para todas (es igual a la raíz enésima aritmética del módulo $R$) y cuyos argumentos (salvo múltiplos de ${360}^{\circ }$) son:

$${\displaystyle \frac{\varphi }{n}},{\displaystyle \frac{\varphi +{360}^{\circ }}{n}},{\displaystyle \frac{\varphi +2\cdot {360}^{\circ }}{n}},{\displaystyle \frac{\varphi +3\cdot {360}^{\circ }}{n}},\dots ,{\displaystyle \frac{\varphi +(n-1)\cdot {360}^{\circ }}{n}}$$

Como podemos comprobar este método es muy parecido al que se utiliza con la forma polar de los números complejos.