Veamos cómo queda la expresión para el cálculo de la potencia enésima de un número complejo que viene expresado en forma trigonométrica. Consideramos el producto de $$n$$ números complejos en forma trigonométrica:
$$$\big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big)^n=$$$
$$$= \big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big) \stackrel{(n)}{\cdots} \big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big)=$$$
$$$=|z|^n \cdot[\cos(n\alpha)+i \cdot\sin(n\alpha)]$$$
Esta fórmula es la que nos da la potencia enésima de un complejo en forma trigonométrica y se debe a Moivre.
Veamos un ejemplo: $$$ \displaystyle \begin{array}{rl} \big( 5\cdot[\cos(60^\circ)+i \cdot\sin(60^\circ)] \big)^3 =& 5^3 \cdot[\cos(3\cdot60^\circ)+i \cdot\sin(3\cdot60^\circ)] \\ =& 125 \cdot[\cos(180^\circ)+i \cdot\sin(180^\circ)] \end{array} $$$
Una vez se sabe trabajar la potenciación, se puede empezar con la radicación.
Dado un número complejo, todo otro número complejo que elevado a la potencia enésima dé un resultado igual al primero, se dice que es una raíz enésima de éste.
Veamos que dado un número complejo cualquiera cuyo módulo y argumento representaremos por $$R$$ y $$\phi$$ respectivamente, siempre tiene raíces enésimas, y precisamente el número de éste es $$n$$.
En virtud de la definición, la condición para que $$|z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)]$$ sea una raíz enésima es: $$$ \big( |z|\cdot[\cos(\alpha)+i \cdot\sin(\alpha)] \big)^n = R\cdot [\cos(\phi)+i \cdot\sin(\phi)]$$$
Entonces, los dos números representados por el primer y segundo miembro de ésta igualdad han de ser iguales, por lo tanto, deberán tener el mismo módulo y sus argumentos deberán diferir en un número exacto de circunferencias, es decir:
$$$ |z|^n=R \quad \text{ y } \quad n\alpha=\phi+k\cdot 360^\circ$$$
El módulo $$|z|$$ de la raíz buscada, queda perfectamente determinado por la primera de éstas ecuaciones, ya que ha de ser un número positivo cuya potencia enésima iguale a $$R$$, así: $$$|z|=\sqrt[n]{R}$$$ Se tiene pues que $$|z|$$ es la raíz enésima aritmética de $$R$$.
En cuanto al argumento $$\alpha$$, la segunda ecuación nos da que: $$$\alpha=\dfrac{\phi}{n}+\dfrac{k\cdot 360^\circ}{n}$$$
A primera vista podría parecer que $$\alpha$$ tiene infinitos valores, pero en realidad, para $$k = 0$$ hasta $$k = n-1$$ obtendremos $$n$$ argumentos diferentes, y a partir de los siguientes $$k$$ obtendremos los mismos números complejos que ya habíamos encontrado, dado que serán los mismos pero con algunas vueltas enteras más.
En resumen, todo número complejo no nulo $$R\cdot [\cos(\phi)+i \cdot\sin(\phi)]$$ tiene $$n$$ raíces enésimas distintas, cuyo módulo que es el mismo para todas (es igual a la raíz enésima aritmética del módulo $$R$$) y cuyos argumentos (salvo múltiplos de $$360^\circ$$) son:
$$$ \dfrac{\phi}{n}, \ \dfrac{\phi+360^\circ}{n}, \ \dfrac{\phi+2\cdot 360^\circ}{n}, \ \dfrac{\phi+3\cdot 360^\circ}{n}, \ \dots \ , \ \dfrac{\phi+(n-1)\cdot 360^\circ}{n}$$$
Calculemos las raíces cuartas de: $$$4\cdot[\cos(60^\circ)+i \cdot\sin(60^\circ)]$$$ Buscamos el módulo: $$$ |z|^4=4 \ \Rightarrow \ |z|=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$$$ Y los argumentos serán: $$$ \dfrac{60^\circ}{4}, \ \dfrac{60^\circ+360^\circ}{4}, \ \dfrac{60^\circ+2\cdot 360^\circ}{4}, \ \dfrac{60^\circ+3\cdot 360^\circ}{4}$$$
Como podemos comprobar este método es muy parecido al que se utiliza con la forma polar de los números complejos.