Operacions amb complexos en forma polar

Vegem com treballar el producte de dos complexos que vénen donats en forma polar. Quan es volen multiplicar dos nombres complexos donats en forma polar, es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments donant lloc a un nou número complex. De forma general es té:

$${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_1=|z_1{|}_{{\alpha }_1}\\ z_2=|z_2{|}_{{\alpha }_2}\end{array}\}\Rightarrow z_1\cdot z_2=(|z_1|\cdot |z_2|{)}_{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}$$

Com veiem, aquesta forma d'expressar els nombres complexos ens facilita i agilitza moltíssim l'operació de multiplicar dos nombres complexos.

Vegem ara què passa amb el quocient. Si es volen dividir dos nombres complexos donats en forma polar, el procediment a seguir és el següent: d'una banda es divideixen els mòduls i per altra es resten els arguments donant lloc a un nou nombre complex que té per mòdul el quocient de mòduls i com a argument la diferència d'arguments. En general s'escriu com:

$${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_1=|z_1{|}_{{\alpha }_1}\\ z_2=|z_2{|}_{{\alpha }_2}\end{array}\}\Rightarrow \frac{z_1}{z_2}=(\frac{|z_1|}{|z_2|}{)}_{{\alpha }_1-{\alpha }_2}}$$

Tenint en compte el producte de nombres complexos expressats en forma polar que hem vist, anem a deduir com es treballa amb potències de nombres complexos en forma polar.

Ja sabem que una potència a la $n$ d'un nombre complex és el mateix que multiplicar el nombre per ell mateix $n$ vegades. Com sabem que el producte en forma polar només suposa el producte dels mòduls i la suma dels arguments, es dedueix el següent.

Per trobar la potència d'un nombre complex donat en forma polar simplement s'ha de fer la potència que es demana del mòdul i l'argument, al seu torn, es veu afectat en que se suma ell mateix el nombre de vegades a què elevem la potència.

Així, s'aconsegueix un nou número complex que també està en forma polar. Això en general s'escriu per un nombre complex qualsevol com:

$$z=|z{|}_{\alpha }\Rightarrow (z{)}^n=(|z{|}_{\alpha }{)}^n=(|z|\stackrel{n}{\cdots }|z|{)}_{\alpha +\stackrel{n}{\dots }+\alpha }={(|z|{)}^n}_{n\cdot \alpha }$$

L'arrel enèsima d'un complex $|R{|}_{\beta }$ és un nombre complex $|r{|}_{\alpha }$ que compleix que:

$${\displaystyle \sqrt[n]{|R{|}_{\beta }}=|r{|}_{\alpha }\iff \{\begin{array}{l}|r|=\sqrt[n]{|R|}\\ \alpha =\frac{\beta +2\pi k}{n}\end{array}}$$

Això és perquè, si observem els mòduls, l'arrel enèsima d'un ha de ser l'altre, i si observem els arguments, la suma $n$ vegades d'un ha de ser l'altre (que com ja hem dit anteriorment no queda unívocament determinat i és per això que li podem sumar el factor $2\pi$ tantes vegades com vulguem, o també ${360}^{\circ }$ que és el mateix que $2\pi$).

En general podem escriure això com:

$$z=|z{|}_{\alpha }\Rightarrow \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z{|}_{\alpha }}=(\sqrt[n]{|z|}{)}_{\frac{\alpha +{360}^{\circ }k}{n}}$$

Donant valors enters a $k$ des de $0$ fins a $n-1$ obtenim $n$ arguments diferents que compleixen la condició que hem imposat. Per $k$ major o igual que $n$ obtenim arguments que difereixen dels anteriors en un nombre enter de ${360}^{\circ }$ i en conseqüència coincideixen amb algun dels $n$ anteriors.

Llavors, anomenarem arrels enèsimes d'un nombre complex $|R{|}_{\beta }$ als $n$ nombres complexos que tenen com a mòdul l'arrel enèsima del mòdul i com a argument l'angle ${\displaystyle \frac{\beta +{360}^{\circ }k}{2}}$.

Aquests són, com hem dit: $$\sqrt[n]{|R{|}_{\beta }}=(\sqrt[n]{|R|}{)}_{\frac{\beta +{360}^{\circ }k}{n}}$$

amb $k=0,1,2,\dots ,n-1$.