Operaciones con complejos en forma polar

Veamos cómo trabajar el producto de dos complejos que vienen dados en forma polar. Cuando se quieren multiplicar dos números complejos dados en forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos dando lugar a un nuevo número complejo. De forma general se tiene:

$$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=|z_{1}|_{\alpha_{1}} \\ z_{2}=|z_{2}|_{\alpha_{2}} \end{array} \left\} \Rightarrow z_{1}\cdot z_{2}=\big( |z_{1}|\cdot |z_{2}| \big)_{\alpha_{1}+\alpha_{2}} \right. $$$

Como vemos, esta forma de expresar los números complejos nos facilita y agiliza muchísimo la operación de multiplicar dos números complejos.

Veamos ahora qué pasa con el cociente. Si se quieren dividir dos números complejos dados en forma polar, el procedimiento a seguir es el siguiente: por una parte se dividen los módulos y por otra se restan los argumentos dando lugar a un nuevo número complejo que tiene por módulo el cociente de módulos y como argumento la diferencia de argumentos. En general se escribe como:

$$$ \displaystyle \begin{array}{l} z_{1}=|z_{1}|_{\alpha_{1}} \\ z_{2}=|z_{2}|_{\alpha_{2}} \end{array} \left\} \Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}}=\Big( \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} \Big)_{\alpha_{1}-\alpha_{2}} \right. $$$

Teniendo en cuenta el producto de números complejos expresados en forma polar que hemos visto, vamos a deducir cómo se trabaja con potencias de números complejos en forma polar.

Ya sabemos que una potencia a la n de un número complejo es lo mismo que multiplicar el número por él mismo n veces. Como sabemos que el producto en forma polar solo supone el producto de los módulos y la suma de los argumentos, se deduce lo siguiente.

Para encontrar la potencia de un número complejo dado en forma polar simplemente debe hacerse la potencia que se pide del módulo, y el argumento, a su vez, se ve afectado en que se suma él mismo el número de veces a la que elevamos la potencia.

Así, se consigue un nuevo número complejo que también está en forma polar. Esto en general se escribe para dos números complejos cualesquiera como:

$$$ z=|z|_{\alpha} \ \Rightarrow \ (z)^n = \big(|z|_{\alpha}\big)^n= \big(|z|\stackrel{n}{\cdots} |z|\big)_{\alpha+\stackrel{n}{\dots}+\alpha}= {\big(|z|\big)^{n}}_{n \cdot \alpha}$$$

La raíz enésima de un complejo $$|R|_{\beta}$$ es un número complejo $$|r|_{\alpha} $$ que cumple que:

$$$\displaystyle \sqrt[n]{|R|_{\beta}}=|r|_{\alpha} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |r|=\sqrt[n]{|R|} \\ \alpha=\frac{\beta+2\pi k}{n} \end{array} \right. $$$

Esto es porque, si observamos los módulos la raíz enésima de uno debe ser el otro, y si observamos los argumentos, la suma $$n$$ veces de uno debe ser el otro (que como ya hemos dicho anteriormente no queda unívocamente determinado y es por eso que le podemos sumar el factor $$2\pi$$ tantas veces como queramos, o también $$360 ^{\circ}$$ que es lo mismo que $$2\pi$$).

Podemos escribir esto en general como:

$$$ z=|z|_{\alpha} \ \Rightarrow \ \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|_{\alpha}}= \big(\sqrt[n]{|z|}\big)_{\frac{\alpha+360^{\circ}k}{n}}$$$

Dando valores enteros a $$k$$ desde $$0$$ hasta $$n-1$$ obtenemos $$n$$ argumentos distintos que cumplen la condición que hemos impuesto. Para $$k$$ mayor o igual que $$n$$ obtenemos argumentos que difieren de los anteriores en un número entero de $$360^{\circ}$$ y en consecuencia coinciden con alguno de los $$n$$ anteriores.

Entonces, vamos a llamar raíces enésimas de un número complejo $$|R|_{\beta}$$ a los $$n$$ números complejos que tienen como módulo la raíz enésima del módulo y como argumento el ángulo $$ \dfrac{\beta+360^{\circ}k}{2}$$.

Estos son como hemos dicho: $$$\sqrt[n]{|R|_{\beta}}= \big(\sqrt[n]{|R|}\big)_{\frac{\beta+360^{\circ}k}{n}}$$$

con $$k = 0,1,2, \dots, n-1$$.