Calcular els logaritmes següents:
$$log_5 \dfrac{25\cdot 125\cdot \dfrac{1}{625}}{\dfrac{1}{5}}$$
$$log_3 \dfrac{27\cdot\dfrac{1}{81}}{9\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$$
$$log\dfrac{10.000\cdot0,1}{0,001\cdot100}$$
$$log_2 \dfrac{12}{\sqrt{36}\cdot 16}$$
Desenvolupament:
Primer cal veure si es pot descompondre cada número en potències de la mateixa base a la del logaritme i després es poden aplicar les propietats apreses per resoldre'ls:
En el primer cas tots els factors poden expressar com potències de $$5$$, per tant: $$$log_5 \dfrac{25\cdot 125\cdot \dfrac{1}{625}}{\dfrac{1}{5}}=log_5 \dfrac{5^2\cdot 5^3\cdot \dfrac{1}{5^4}}{\dfrac{1}{5}}=log_5 \dfrac{5^2\cdot 5^3\cdot 5^{-4}}{5^{-1}}$$$ Ara que està tot expressat en potències de base $$5$$ es poden aplicar les propietats del producte, del quocient i de la potència dels logaritmes:
$$(log_5 5^2+log_5 5^3+log_5 5^{-4})-log_5 5^{-1}=(2+3-4)-(-1)=1+1=2$$
En el segon cas, es poden expressar els nombres com potències de $$3$$:
$$$log_3 \dfrac{27\cdot\dfrac{1}{81}}{9\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}}= log_3 \dfrac{3^3\cdot\dfrac{1}{3^4}}{3^2\cdot\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}}= log_3 \dfrac{3^3\cdot3^{-4}}{3^2\cdot3^{-\frac{1}{2}}}=$$$ $$$=(log_3 3^3+log_3 3^{-4})-(log_3 3^2+log_3 3^{-\frac{1}{2}})=$$$ $$$=(3-4)-(2-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{7}{2}$$$
En el tercer cas, cal recórrer a les potències de $$10$$: $$$log\dfrac{10.000\cdot0,1}{0,001\cdot100}=log\dfrac{10^4\cdot10^{-1}}{10^{-3}\cdot10^2}=$$$ $$$=(log10^4+log10^{-1})-(log10^{-3}+log10^2)=$$$ $$$=(4-1)-(-3+2)=3+1=4$$$
Finalment, en l'últim cas, es pot intentar aconseguir el màxim de potències en base $$2$$:
$$$log_2 \dfrac{12}{\sqrt{36}\cdot 16}=log_2 \dfrac{3\cdot4}{6\cdot 2^4}=log_2 \dfrac{3\cdot2^2}{2\cdot3\cdot 2^4}=$$$ $$$=(log_2 3+log_2 2^2)-(log_2 2+log_2 3+log_2 2^4)=$$$ $$$=log_2 3+2-1-log_2 3-4=-3$$$
Solució:
$$2, -\dfrac{7}{2}, 4, -3$$