Anem a aprendre a crear i resoldre exercicis basats en les propietats del producte i el quocient dels logaritmes.
Una propietat dels logaritmes és que: $$$log_a (x\cdot y)=log_a x+log_a y$$$
O, dit d'una altra manera, el logaritme del producte de dos nombres és la suma dels logaritmes dels nombres.
$$log_2 (8\cdot64)=log_2 8+log_2 64=log_2 2^3+log_2 2^6=3+6=9$$
Així mateix:
$$log_5 (125\cdot625)=log_5 125+log_5 625=log_5 5^3+log_5 5^4=3+4=7$$
Si quan es té un producte de logaritmes se suma, quan es tracta d'un quocient cal restar, de manera que una segona propietat dels logaritmes consisteix en que: $$$log_a \dfrac{x}{y}=log_a x - log_a y$$$
O, en altres paraules, el logaritme del quocient entre dos nombres és igual al logaritme del numerador menys el logaritme del denominador.
$$log_3 \dfrac{9}{81}=log_3 9-log_3 81= log_3 3^2-log_3 3^4=2-4=-2$$
Així mateix:
$$log_{10} \dfrac{0,001}{0,01}=log_{10} 0,001-log_{10} 0,01= log_{10} 10^{-3}-log_{10} 10^{-2}=-3+2=-1$$
La base de l'últim exemple $$(10)$$ és molt comú. De fet, és un dels dos tipus de logaritmes que calculen directament les calculadores científiques de butxaca. S'anomena logaritme decimal i s'acostuma a abreujar com log, sense necessitat d'especificar la base.
Un altre tipus de logaritme molt comú és el natural o neperià, que té com a base el nombre $$e$$ i s'abreuja $$ln$$.
Les propietats del producte i del quocient dels logaritmes poden combinar-se per reduir expressions.
Per exemple, es pot agrupar la següent expressió en un sol logaritme: $$$ln127-ln481-ln7+ln74$$$ Primer s'agrupen els elements amb el mateix signe: $$$(ln127+ln74)-(ln481+ln7)$$$ En aplicar les propietats del producte i del quocient s'obté que: $$$(ln127+ln74)-(ln481+ln7)=ln(\dfrac{127\cdot74}{481\cdot7})$$$
L'expressió següent resumeix les propietats dels logaritmes vistes fins al moment. Cal intentar reduir l'expressió a un sol logaritme: $$$log10^{-2}-log\dfrac{3}{4}+log13^{\frac{1}{3}}-log5$$$ Primer s'agrupen els elements amb el mateix signe:
$$$\Big(log10^{-2}+log13^{\frac{1}{3}}\Big)-\Big(log\dfrac{3}{4}+log5\Big)$$$
Ara s'apliquen les propietats del producte, quocient i la potència d'un logaritme: $$$\Big(log10^{-2}+log13^{\frac{1}{3}}\Big)-\Big(log\dfrac{3}{4}+log5\Big)=log\dfrac{10^{-2}\cdot13^{\frac{1}{3}}}{\dfrac{3}{4}\cdot5}=$$$ $$$=-2\cdot\dfrac{1}{3}log\dfrac{1\cdot13}{\dfrac{15}{4}}=-\dfrac{2}{3}log\dfrac{52}{15}$$$
Cal remarcar que les propietats producte i quocient dels logaritmes es deriven directament de les propietats corresponents de les potències: $$$log_a (x\cdot y)=log_a x+log_a y$$$ Perquè $$a^n \cdot a^m=a^{n+m}$$, i és que aplicar logaritmes implica calcular $$n$$ i $$m$$.
Per altra banda: $$$log_a \dfrac{x}{y}=log_a x-log_a y$$$ ja que $$\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$$