Propietats del producte i el quocient de logaritmes

Anem a aprendre a crear i resoldre exercicis basats en les propietats del producte i el quocient dels logaritmes.

Una propietat dels logaritmes és que: $l o g_{a} (x \cdot y) = l o g_{a} x + l o g_{a} y$

O, dit d'una altra manera, el logaritme del producte de dos nombres és la suma dels logaritmes dels nombres.

Exemple

$l o g_{2} (8 \cdot 64) = l o g_{2} 8 + l o g_{2} 64 = l o g_{2} 2^{3} + l o g_{2} 2^{6} = 3 + 6 = 9$

Així mateix:

$l o g_{5} (125 \cdot 625) = l o g_{5} 125 + l o g_{5} 625 = l o g_{5} 5^{3} + l o g_{5} 5^{4} = 3 + 4 = 7$

Si quan es té un producte de logaritmes se suma, quan es tracta d'un quocient cal restar, de manera que una segona propietat dels logaritmes consisteix en que: $l o g_{a} \frac{x}{y} = l o g_{a} x - l o g_{a} y$

O, en altres paraules, el logaritme del quocient entre dos nombres és igual al logaritme del numerador menys el logaritme del denominador.

Exemple

$l o g_{3} \frac{9}{81} = l o g_{3} 9 - l o g_{3} 81 = l o g_{3} 3^{2} - l o g_{3} 3^{4} = 2 - 4 = - 2$

Així mateix:

$l o g_{10} \frac{0, 001}{0, 01} = l o g_{10} 0, 001 - l o g_{10} 0, 01 = l o g_{10} 10^{- 3} - l o g_{10} 10^{- 2} = - 3 + 2 = - 1$

La base de l'últim exemple $(10)$ és molt comú. De fet, és un dels dos tipus de logaritmes que calculen directament les calculadores científiques de butxaca. S'anomena logaritme decimal i s'acostuma a abreujar com log, sense necessitat d'especificar la base.

Un altre tipus de logaritme molt comú és el natural o neperià, que té com a base el nombre $e$ i s'abreuja $l n$ .

Les propietats del producte i del quocient dels logaritmes poden combinar-se per reduir expressions.

Exemple

Per exemple, es pot agrupar la següent expressió en un sol logaritme: $l n 127 - l n 481 - l n 7 + l n 74$ Primer s'agrupen els elements amb el mateix signe: $(l n 127 + l n 74) - (l n 481 + l n 7)$ En aplicar les propietats del producte i del quocient s'obté que: $(l n 127 + l n 74) - (l n 481 + l n 7) = l n (\frac{127 \cdot 74}{481 \cdot 7})$

Exemple

L'expressió següent resumeix les propietats dels logaritmes vistes fins al moment. Cal intentar reduir l'expressió a un sol logaritme: $l o g 10^{- 2} - l o g \frac{3}{4} + l o g 13^{\frac{1}{3}} - l o g 5$ Primer s'agrupen els elements amb el mateix signe:

$(l o g 10^{- 2} + l o g 13^{\frac{1}{3}}) - (l o g \frac{3}{4} + l o g 5)$

Ara s'apliquen les propietats del producte, quocient i la potència d'un logaritme: $(l o g 10^{- 2} + l o g 13^{\frac{1}{3}}) - (l o g \frac{3}{4} + l o g 5) = l o g \frac{10^{- 2} \cdot 13^{\frac{1}{3}}}{\frac{3}{4} \cdot 5} =$ $= - 2 \cdot \frac{1}{3} l o g \frac{1 \cdot 13}{\frac{15}{4}} = - \frac{2}{3} l o g \frac{52}{15}$

Cal remarcar que les propietats producte i quocient dels logaritmes es deriven directament de les propietats corresponents de les potències: $l o g_{a} (x \cdot y) = l o g_{a} x + l o g_{a} y$ Perquè $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ , i és que aplicar logaritmes implica calcular $n$ i $m$ .

Per altra banda: $l o g_{a} \frac{x}{y} = l o g_{a} x - l o g_{a} y$ ja que $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$