Canvi de base dels logaritmes

Hi ha una relació que permet la conversió de logaritmes a qualsevol altra base: $l o g_{a} x = \frac{l o g_{b} x}{l o g_{b} a}$

És a dir, si es divideix el logaritme d'un nombre pel logaritme de la base en què es vol expressar s'obté el valor del mateix logaritme en aquesta base. Per exemple:

Exemple

$l o g_{3} 7 = \frac{l o g 7}{l o g 3} ≃ \frac{0, 845}{0, 477} ≃ 1, 771$

Amb aquesta relació es poden calcular logaritmes diferents dels decimals i els neperians amb una calculadora científica, ja que es pot aplicar qualsevol dels dos per fer la conversió. Per exemple:

Exemple

$l o g_{2} 44$

$l o g_{2} 44 = \frac{l o g 44}{l o g 2} ≃ 5, 459$

O bé:

$l o g_{2} 44 = \frac{l n 44}{l n 2} ≃ 5, 459$

A més, també permet simplificar logaritmes i expressar en una única base, cosa que facilita el càlcul. Per exemple:

Exemple

$l o g_{2} \frac{13}{47^{8}} \cdot l o g_{3} \frac{\frac{1}{17}}{23^{12}}$

Primer, cal aplicar les propietats dels logaritmes per a descompondre l'expressió:

$l o g_{2} \frac{13}{47^{8}} \cdot l o g_{3} \frac{\frac{1}{17}}{23^{12}} = (l o g_{2} 13 - l o g_{2} 47^{- 8}) \cdot (l o g_{3} 17^{- 1} - l o g_{3} 23^{12}) =$ $= (l o g_{2} 13 + 8 \cdot l o g_{2} 47) \cdot (- 1 \cdot l o g_{3} 17 - 12 \cdot l o g_{3} 23)$

En aquest punt, s'aplica el canvi de base: $= (l o g_{2} 13 + 8 \cdot l o g_{2} 47) \cdot (- l o g_{3} 17 - 12 \cdot l o g_{3} 23) =$ $= (\frac{l o g 13}{l o g 2} + 8 \cdot \frac{l o g 47}{l o g 2}) \cdot (- \frac{l o g 17}{l o g 3} - 12 \cdot \frac{l o g 23}{l o g 3}) ≃$ $≃ (\frac{1, 114}{0, 301} + 8 \cdot \frac{1, 672}{0, 301}) \cdot (- \frac{1, 230}{0, 477} - 12 \cdot \frac{1, 362}{0, 477}) ≃$ $≃ (3, 701 + 8 \cdot 5, 555) \cdot (- 2, 579 - 12 \cdot 2, 855) ≃$ $≃ 48, 141 \cdot (- 36, 839) ≃ - 1773, 466$