Calcular els següents logaritmes:
$$log_3 15, \ log_5 \dfrac{1}{50}$$ i $$log_7 \sqrt[3]{147}$$
Desenvolupament:
Es tracta d'aplicar la regla de la conversió de logaritmes i altres propietats apreses anteriorment, però sempre és bo provar si es poden simplificar una mica les expressions.
Potser es puguin expressar els números en funció de la base del logaritme. Per a això caldrà recórrer, en ocasions, a la descomposició en factors primers.
$$log_3 15=log_3 (3\cdot5)=log_3 3+log_3 5=1+log_3 5$$
En aquest punt ja es pot aplicar la conversió. En aquest cas, es recorre als logaritmes decimals, de manera que:
$$1+log_3 5=1+\dfrac{log5}{log3}\simeq 1+\dfrac{0,699}{0,477}\simeq 1+1,465\simeq 2,465$$
La mateixa regla és vàlida per al segon cas, de manera que en descompondre $$50$$ en factors primers s'obté $$50=5^2\cdot2$$
Es simplifica l'expressió: $$$log_5 \dfrac{1}{50}=log_5 50^{-1}=-1\cdot log_5 50=-1\cdot log_5 (5^2\cdot2)=$$$ $$$=-2\cdot(log_5 5+log_5 2)=-2\cdot\Big(1+\dfrac{log2}{log5}\Big)\simeq -2\cdot\Big(1+\dfrac{0,301}{0,699}\Big)\simeq$$$ $$$\simeq -2\cdot(1+0,431)\simeq2,862$$$
Finalment,
$$log_7 \sqrt[3]{147}$$
En descompondre $$147$$ s'obté $$147=7^2\cdot3$$
Es simplifica: $$$log_7 \sqrt[3]{147}=log_7 147^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot log_7 147=\dfrac{1}{3}\cdot log_7 (7^2\cdot3)=$$$ $$$=\dfrac{2}{3}\cdot (log_7 7+log_7 3)=\dfrac{2}{3}\cdot\Big(1+\dfrac{log3}{log7}\Big)\simeq$$$ $$$=\simeq \dfrac{2}{3}\cdot(1+0,564)\simeq1,043$$$
Solució:
$$2,465; \ 2,862; \ 1,043$$