Exercicis de Canvi de base dels logaritmes

Desenvolupament:

Es tracta d'aplicar la regla de la conversió de logaritmes i altres propietats apreses anteriorment, però sempre és bo provar si es poden simplificar una mica les expressions.

Potser es puguin expressar els números en funció de la base del logaritme. Per a això caldrà recórrer, en ocasions, a la descomposició en factors primers.

$lo{g}_{3}15=lo{g}_3(3\cdot 5)=lo{g}_{3}3+lo{g}_{3}5=1+lo{g}_{3}5$

En aquest punt ja es pot aplicar la conversió. En aquest cas, es recorre als logaritmes decimals, de manera que:

$1+lo{g}_{3}5=1+{\displaystyle \frac{log5}{log3}}\simeq 1+{\displaystyle \frac{0,699}{0,477}}\simeq 1+1,465\simeq 2,465$

La mateixa regla és vàlida per al segon cas, de manera que en descompondre $50$ en factors primers s'obté $50=5^2\cdot 2$

Es simplifica l'expressió: $$lo{g}_5{\displaystyle \frac{1}{50}}=lo{g}_5{50}^{-1}=-1\cdot lo{g}_{5}50=-1\cdot lo{g}_5(5^2\cdot 2)=$$ $$=-2\cdot (lo{g}_{5}5+lo{g}_{5}2)=-2\cdot (1+{\displaystyle \frac{log2}{log5}})\simeq -2\cdot (1+{\displaystyle \frac{0,301}{0,699}})\simeq$$ $$\simeq -2\cdot (1+0,431)\simeq 2,862$$

Finalment,

$lo{g}_7\sqrt[3]{147}$

En descompondre $147$ s'obté $147=7^2\cdot 3$

Es simplifica: $$lo{g}_7\sqrt[3]{147}=lo{g}_7{147}^{\frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot lo{g}_{7}147={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot lo{g}_7(7^2\cdot 3)=$$ $$={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (lo{g}_{7}7+lo{g}_{7}3)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (1+{\displaystyle \frac{log3}{log7}})\simeq$$ $$=\simeq {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (1+0,564)\simeq 1,043$$

Solució:

$2,465;2,862;1,043$

Amagar desenvolupament i solució