Ejercicios de Cambio de base de los logaritmos

Desarrollo:

Se trata de aplicar la regla de la conversión de logaritmos y otras propiedades aprendidas anteriormente, pero siempre es bueno intentar primero si se pueden simplificar un poco las expresiones.

Quizá se puedan expresar los números en función de la base del logaritmo. Para ello habrá que recurrir, en ocasiones, a la descomposición en factores primos.

$lo{g}_{3}15=lo{g}_3(3\cdot 5)=lo{g}_{3}3+lo{g}_{3}5=1+lo{g}_{3}5$

En este punto ya se puede aplicar la conversión. En este caso, se recurre a los logaritmos decimales, de modo que:

$1+lo{g}_{3}5=1+{\displaystyle \frac{log5}{log3}}\simeq 1+{\displaystyle \frac{0,699}{0,477}}\simeq 1+1,465\simeq 2,465$

La misma regla es válida para el segundo caso, de manera que al descomponer $50$ en factores primos se obtiene que $50=5^2\cdot 2$

Se simplifica la expresión: $$lo{g}_5{\displaystyle \frac{1}{50}}=lo{g}_5{50}^{-1}=-1\cdot lo{g}_{5}50=-1\cdot lo{g}_5(5^2\cdot 2)=$$ $$=-2\cdot (lo{g}_{5}5+lo{g}_{5}2)=-2\cdot (1+{\displaystyle \frac{log2}{log5}})\simeq -2\cdot (1+{\displaystyle \frac{0,301}{0,699}})\simeq$$ $$\simeq -2\cdot (1+0,431)\simeq 2,862$$

Finalmente,

$lo{g}_7\sqrt[3]{147}$

Al descomponer $147$ se obtiene que $147=7^2\cdot 3$

Se simplifica: $$lo{g}_7\sqrt[3]{147}=lo{g}_7{147}^{\frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot lo{g}_{7}147={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot lo{g}_7(7^2\cdot 3)=$$ $$={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (lo{g}_{7}7+lo{g}_{7}3)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (1+{\displaystyle \frac{log3}{log7}})\simeq$$ $$=\simeq {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot (1+0,564)\simeq 1,043$$

Solución:

$2,465;2,862;1,043$

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