Calcular los siguientes logaritmos:
$$log_3 15, \ log_5 \dfrac{1}{50}$$ y $$log_7 \sqrt[3]{147}$$
Desarrollo:
Se trata de aplicar la regla de la conversión de logaritmos y otras propiedades aprendidas anteriormente, pero siempre es bueno intentar primero si se pueden simplificar un poco las expresiones.
Quizá se puedan expresar los números en función de la base del logaritmo. Para ello habrá que recurrir, en ocasiones, a la descomposición en factores primos.
$$log_3 15=log_3 (3\cdot5)=log_3 3+log_3 5=1+log_3 5$$
En este punto ya se puede aplicar la conversión. En este caso, se recurre a los logaritmos decimales, de modo que:
$$1+log_3 5=1+\dfrac{log5}{log3}\simeq 1+\dfrac{0,699}{0,477}\simeq 1+1,465\simeq 2,465$$
La misma regla es válida para el segundo caso, de manera que al descomponer $$50$$ en factores primos se obtiene que $$50=5^2\cdot2$$
Se simplifica la expresión: $$$log_5 \dfrac{1}{50}=log_5 50^{-1}=-1\cdot log_5 50=-1\cdot log_5 (5^2\cdot2)=$$$ $$$=-2\cdot(log_5 5+log_5 2)=-2\cdot\Big(1+\dfrac{log2}{log5}\Big)\simeq -2\cdot\Big(1+\dfrac{0,301}{0,699}\Big)\simeq$$$ $$$\simeq -2\cdot(1+0,431)\simeq2,862$$$
Finalmente,
$$log_7 \sqrt[3]{147}$$
Al descomponer $$147$$ se obtiene que $$147=7^2\cdot3$$
Se simplifica: $$$log_7 \sqrt[3]{147}=log_7 147^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot log_7 147=\dfrac{1}{3}\cdot log_7 (7^2\cdot3)=$$$ $$$=\dfrac{2}{3}\cdot (log_7 7+log_7 3)=\dfrac{2}{3}\cdot\Big(1+\dfrac{log3}{log7}\Big)\simeq$$$ $$$=\simeq \dfrac{2}{3}\cdot(1+0,564)\simeq1,043$$$
Solución:
$$2,465; \ 2,862; \ 1,043$$