Definició i propietats de logaritmes

Com ens mostren les potències $5^{3} = 125$ , però què passa en cas que allò desconegut sigui l'exponent? $5^{x} = 125$

En l'exemple anterior només cal multiplicar $5$ vegades fins a obtenir $125$ . $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Al multiplicar $3$ vegades $5$ s'obté $125$ , així que el valor de l'exponent és $3$ .

En el següent exemple:

$3^{x} = 2187$

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot = 2.187$

De manera que l'exponent al qual cal elevar $3$ per obtenir $2.187$ és $7$ .

Hi ha una manera més pràctica d'esbrinar els exponents sense necessitat d'anar fent multiplicacions fins a trobar la xifra buscada: els logaritmes.

En el primer exemple $5^{3} = 125$ , si s'aplica un logaritme, s'obté la següent expressió: $l o g_{5} 125 = 3$ on $5$ és la base del logaritme (igual que ho era en la potència), i l'expressió es llegeix logaritme en base $5$ de $125$ .

Si s'apliquen logaritmes al segon exemple: $l o g_{3} 2.187 = 7$

És a dir, logaritme en base $3$ de $2.187$ .

Tenint en compte que l'expressió general d'una potència és $a^{n} = x$ l'esquema general d'un logaritme és $l o g_{a} x = n$

Aquesta expressió permet calcular el nombre $n$ al qual cal elevar un altre número $a$ per obtenir $x$ .

Només es pot calcular el logaritme d'un nombre positiu $> 0$ i la seva base ha de ser $> 0$ i diferent a $1$ .

Exemple

$l o g_{3} 0$

No es pot expressar $0$ com una potència de $3$ . De fet, no hi ha cap nombre que multiplicat per si mateix doni $0$ , per la qual cosa es conclou que no es pot calcular.

Exemple

$l o g_{1} 20$

No hi ha manera d'expressar $20$ com una potència de base $1$ perquè $1^{n} = 1$

Elevar $1$ a una potència no té gaire sentit, de manera que tampoc ho té calcular el logaritme en base $1$ . Es pot deduir, per tant, que la base d'un logaritme ha de ser un nombre més gran que $1$ .

Però, si només es pot calcular el logaritme d'un nombre $> 0$ , existeix el logaritme d' $1$ ?

$l o g_{2} 1$

Si s'expressa $1$ com a potència de base $2$ es té:

$l o g_{2} 1 = l o g_{2} 2^{0}$ ja que $2^{0} = 1$

Per aquest motiu $l o g_{2} 1 = l o g_{2} 2^{0} = 0$

L'exemple permet deduir que, en l'expressió general d'un logaritme $l o g_{a} x = n$ , quan $x = 1$ , el valor del logaritme, sigui quina sigui la seva base, sempre és $0$ , ja que l'únic exponent al qual es pot elevar un nombre per obtenir $1$ és $0$ . Dit d'una altra manera, ja que:

$a^{0} = 1$ llavors $l o g_{a} 1 = 0$ .

Calcular logaritmes senzills pot ser immediat si s'expressa el valor de $x$ com una potència de base igual a la del logaritme.

Exemple

Seguint amb l'exemple inicial: $l o g_{5} 125 = l o g_{5} 5^{3} = 3$ De manera que $3$ és el número al qual cal elevar $5$ per obtenir $125$ .

Més casos: $l o g_{2} 4 = l o g_{2} 2^{2} = 2$ De manera que $2$ és el número al qual cal elevar $2$ per obtenir $4$ .

$l o g_{10} 1.000 = l o g_{10} 10^{3} = 3$

Pel que $3$ és el número al qual cal elevar $10$ per obtenir $1.000$ .

Aquests exemples introdueixen una de les propietats dels logaritmes, que consisteix en $l o g_{a} x^{y} = y \cdot l o g_{a} x$

Però el logaritme en base $a$ d'un nombre $a$ és sempre $1$ . Per exemple:

Exemple

$l o g_{2} 2 = 1$ perquè el número al qual cal elevar $2$ per obtenir $2$ només pot ser $1$ .

De manera que $l o g_{a} a^{n} = n \cdot 1 = n$

Finalment cal recordar que, en estar relacionats amb les potències, els logaritmes també ho estan amb les arrels, ja que:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} = x$

Pel que, en aquest cas:

$l o g_{a} x = \frac{1}{n}$