Como nos muestran las potencias $$5^3=125$$, pero ¿qué pasa en caso que lo desconocido sea el exponente? $$5^x=125$$
En el ejemplo anterior basta con multiplicar $$5$$ las veces necesarias hasta obtener $$125$$. $$5\cdot5\cdot5=125$$
Al multiplicar $$3$$ veces $$5$$ se consigue $$125$$, así que el valor del exponente es $$3$$.
En el siguiente ejemplo:
$$3^x=2187$$
$$3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot=2.187$$
De modo que el exponente al que hay que elevar $$3$$ para obtener $$2.187$$ es $$7$$.
Hay un modo más práctico de averiguar los exponentes sin necesidad de ir haciendo multiplicaciones hasta dar con la cifra buscada: los logaritmos.
En el primer ejemplo $$5^3=125$$, si se aplica un logaritmo, se obtiene la siguiente expresión: $$$log_5 125=3$$$ donde $$5$$ es la base del logaritmo (al igual que lo era en la potencia), y la expresión se lee logaritmo en base $$5$$ de $$125$$.
Si se aplican logaritmos al segundo ejemplo: $$$log_3 2.187=7$$$
Es decir, logaritmo en base $$3$$ de $$2.187$$.
Teniendo en cuenta que la expresión general de una potencia es $$$a^n=x$$$ el esquema general de un logaritmo es $$$log_a x=n$$$
Esta expresión permite calcular el número $$n$$ al que hay que elevar otro número $$a$$ para obtener $$x$$.
Sólo se puede calcular el logaritmo de un número positivo $$> 0$$ y su base debe ser $$> 0$$ y distinta de $$1$$.
$$log_3 0$$
No se puede expresar $$0$$ como una potencia de $$3$$. De hecho, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé $$0$$, por lo que se concluye que no se puede calcular.
$$log_1 20$$
No hay manera de expresar $$20$$ como una potencia de base $$1$$ porque $$1^n=1$$
Elevar $$1$$ a una potencia no tiene mucho sentido, por lo que tampoco lo tiene calcular el logaritmo en base $$1$$. Se puede deducir, por tanto, que la base de un logaritmo tiene que ser un número mayor que $$1$$.
Pero, si sólo se puede calcular el logaritmo de un número $$> 0$$, ¿existe el logaritmo de $$1$$?
$$log_2 1$$
Si se expresa $$1$$ como potencia de base $$2$$ se tiene que:
$$log_2 1=log_2 2^0$$ puesto que $$2^0=1$$
Por este motivo $$log_2 1=log_2 2^0=0$$
El ejemplo permite deducir que, en la expresión general de un logaritmo $$log_a x=n$$, cuando $$x=1$$, el valor del logaritmo, sea cual sea su base, siempre es $$0$$, puesto que el único exponente al que se puede elevar un número para obtener $$1$$ es $$0$$. Dicho de otra forma, puesto que:
$$a^0=1$$ entonces $$log_a 1=0$$.
Calcular logaritmos sencillos puede ser inmediato si se expresa el valor de $$x$$ como una potencia de base igual a la del logaritmo.
Siguiendo con el ejemplo inicial: $$$log_5 125=log_5 5^3=3$$$ De modo que $$3$$ es el número al que hay que elevar $$5$$ para obtener $$125$$.
Más casos: $$$log_2 4=log_2 2^2=2$$$ De manera que $$2$$ es el número al que hay que elevar $$2$$ para obtener $$4$$.
$$log_{10} 1.000=log_{10} 10^3=3$$
Por lo que $$3$$ es el número al que hay que elevar $$10$$ para obtener $$1.000$$.
Estos ejemplos introducen una de las propiedades de los logaritmos, que consiste en $$$log_a x^y = y \cdot log_a x$$$
Pero el logaritmo en base $$a$$ de un número $$a$$ es siempre $$1$$. Por ejemplo:
$$$log_2 2=1$$$ porque el número al que hay que elevar $$2$$ para obtener $$2$$ sólo puede ser $$1$$.
De modo que $$$log_a a^n=n\cdot 1=n$$$
Finalmente hay que recordar que, al estar relacionados con las potencias, los logaritmos también lo están con las raíces, puesto que:
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}=x$$
Por lo que, en este caso:
$$log_a x=\dfrac{1}{n}$$