Definición y propiedades de logaritmos

Como nos muestran las potencias $5^{3} = 125$ , pero ¿qué pasa en caso que lo desconocido sea el exponente? $5^{x} = 125$

En el ejemplo anterior basta con multiplicar $5$ las veces necesarias hasta obtener $125$ . $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Al multiplicar $3$ veces $5$ se consigue $125$ , así que el valor del exponente es $3$ .

En el siguiente ejemplo:

$3^{x} = 2187$

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot = 2.187$

De modo que el exponente al que hay que elevar $3$ para obtener $2.187$ es $7$ .

Hay un modo más práctico de averiguar los exponentes sin necesidad de ir haciendo multiplicaciones hasta dar con la cifra buscada: los logaritmos.

En el primer ejemplo $5^{3} = 125$ , si se aplica un logaritmo, se obtiene la siguiente expresión: $l o g_{5} 125 = 3$ donde $5$ es la base del logaritmo (al igual que lo era en la potencia), y la expresión se lee logaritmo en base $5$ de $125$ .

Si se aplican logaritmos al segundo ejemplo: $l o g_{3} 2.187 = 7$

Es decir, logaritmo en base $3$ de $2.187$ .

Teniendo en cuenta que la expresión general de una potencia es $a^{n} = x$ el esquema general de un logaritmo es $l o g_{a} x = n$

Esta expresión permite calcular el número $n$ al que hay que elevar otro número $a$ para obtener $x$ .

Sólo se puede calcular el logaritmo de un número positivo $> 0$ y su base debe ser $> 0$ y distinta de $1$ .

Ejemplo

$l o g_{3} 0$

No se puede expresar $0$ como una potencia de $3$ . De hecho, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé $0$ , por lo que se concluye que no se puede calcular.

Ejemplo

$l o g_{1} 20$

No hay manera de expresar $20$ como una potencia de base $1$ porque $1^{n} = 1$

Elevar $1$ a una potencia no tiene mucho sentido, por lo que tampoco lo tiene calcular el logaritmo en base $1$ . Se puede deducir, por tanto, que la base de un logaritmo tiene que ser un número mayor que $1$ .

Pero, si sólo se puede calcular el logaritmo de un número $> 0$ , ¿existe el logaritmo de $1$ ?

$l o g_{2} 1$

Si se expresa $1$ como potencia de base $2$ se tiene que:

$l o g_{2} 1 = l o g_{2} 2^{0}$ puesto que $2^{0} = 1$

Por este motivo $l o g_{2} 1 = l o g_{2} 2^{0} = 0$

El ejemplo permite deducir que, en la expresión general de un logaritmo $l o g_{a} x = n$ , cuando $x = 1$ , el valor del logaritmo, sea cual sea su base, siempre es $0$ , puesto que el único exponente al que se puede elevar un número para obtener $1$ es $0$ . Dicho de otra forma, puesto que:

$a^{0} = 1$ entonces $l o g_{a} 1 = 0$ .

Calcular logaritmos sencillos puede ser inmediato si se expresa el valor de $x$ como una potencia de base igual a la del logaritmo.

Ejemplo

Siguiendo con el ejemplo inicial: $l o g_{5} 125 = l o g_{5} 5^{3} = 3$ De modo que $3$ es el número al que hay que elevar $5$ para obtener $125$ .

Más casos: $l o g_{2} 4 = l o g_{2} 2^{2} = 2$ De manera que $2$ es el número al que hay que elevar $2$ para obtener $4$ .

$l o g_{10} 1.000 = l o g_{10} 10^{3} = 3$

Por lo que $3$ es el número al que hay que elevar $10$ para obtener $1.000$ .

Estos ejemplos introducen una de las propiedades de los logaritmos, que consiste en $l o g_{a} x^{y} = y \cdot l o g_{a} x$

Pero el logaritmo en base $a$ de un número $a$ es siempre $1$ . Por ejemplo:

Ejemplo

$l o g_{2} 2 = 1$ porque el número al que hay que elevar $2$ para obtener $2$ sólo puede ser $1$ .

De modo que $l o g_{a} a^{n} = n \cdot 1 = n$

Finalmente hay que recordar que, al estar relacionados con las potencias, los logaritmos también lo están con las raíces, puesto que:

$\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} = x$

Por lo que, en este caso:

$l o g_{a} x = \frac{1}{n}$