Propiedades del producto y el cociente de logaritmos

Vamos a aprender a crear y resolver ejercicios basados en las propiedades del producto y el cociente de los logaritmos.

Una propiedad de los logaritmos es que: $l o g_{a} (x \cdot y) = l o g_{a} x + l o g_{a} y$

O, dicho de otro modo, el logaritmo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de dichos números.

Ejemplo

$l o g_{2} (8 \cdot 64) = l o g_{2} 8 + l o g_{2} 64 = l o g_{2} 2^{3} + l o g_{2} 2^{6} = 3 + 6 = 9$

Asimismo:

$l o g_{5} (125 \cdot 625) = l o g_{5} 125 + l o g_{5} 625 = l o g_{5} 5^{3} + l o g_{5} 5^{4} = 3 + 4 = 7$

Si cuando se tiene un producto de logaritmos se suma, cuando se trata de un cociente hay que restar, por lo que una segunda propiedad de los logaritmos consiste en que: $l o g_{a} \frac{x}{y} = l o g_{a} x - l o g_{a} y$

O, en otras palabras, el logaritmo del cociente entre dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Ejemplo

$l o g_{3} \frac{9}{81} = l o g_{3} 9 - l o g_{3} 81 = l o g_{3} 3^{2} - l o g_{3} 3^{4} = 2 - 4 = - 2$

Asimismo:

$l o g_{10} \frac{0, 001}{0, 01} = l o g_{10} 0, 001 - l o g_{10} 0, 01 = l o g_{10} 10^{- 3} - l o g_{10} 10^{- 2} = - 3 + 2 = - 1$

La base del último ejemplo $(10)$ es muy común. De hecho, es uno de los dos tipos de logaritmos que calculan directamente las calculadoras científicas de bolsillo. Se denomina logaritmo decimal y se acostumbra a abreviar como log, sin necesidad de especificar la base.

Otro tipo de logaritmo muy común es el natural o neperiano, que tiene como base el número $e$ y se abrevia $l n$ .

Las propiedades del producto y del cociente de los logaritmos pueden combinarse para reducir expresiones.

Ejemplo

Por ejemplo, se puede agrupar la siguiente expresión en un sólo logaritmo: $l n 127 - l n 481 - l n 7 + l n 74$ Primero se agrupan los elementos con el mismo signo: $(l n 127 + l n 74) - (l n 481 + l n 7)$ Al aplicar las propiedades del producto y del cociente se obtiene que: $(l n 127 + l n 74) - (l n 481 + l n 7) = l n (\frac{127 \cdot 74}{481 \cdot 7})$

Ejemplo

La expresión siguiente resume las propiedades de los logaritmos vistas hasta el momento. Hay que intentar reducir la expresión a un solo logaritmo: $l o g 10^{- 2} - l o g \frac{3}{4} + l o g 13^{\frac{1}{3}} - l o g 5$ Primero se agrupan los elementos con el mismo signo:

$(l o g 10^{- 2} + l o g 13^{\frac{1}{3}}) - (l o g \frac{3}{4} + l o g 5)$

Ahora se aplican las propiedades del producto, cociente y la potencia de un logaritmo: $(l o g 10^{- 2} + l o g 13^{\frac{1}{3}}) - (l o g \frac{3}{4} + l o g 5) = l o g \frac{10^{- 2} \cdot 13^{\frac{1}{3}}}{\frac{3}{4} \cdot 5} =$ $= - 2 \cdot \frac{1}{3} l o g \frac{1 \cdot 13}{\frac{15}{4}} = - \frac{2}{3} l o g \frac{52}{15}$

Cabe remarcar que las propiedades producto y cociente de los logaritmos se derivan directamente de las propiedades correspondientes de las potencias: $l o g_{a} (x \cdot y) = l o g_{a} x + l o g_{a} y$ Porque $a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$ , y es que aplicar logaritmos implica calcular $n$ y $m$ .

Por otro lado: $l o g_{a} \frac{x}{y} = l o g_{a} x - l o g_{a} y$ ya que $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$