Simplificación de expresiones mediante logaritmos

Ejemplo

$$log{\displaystyle \frac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{37}}}=(log{7}^{15}+log{5}^{\frac{2}{3}})-(log{9}^{\frac{3}{4}}+log{3}^{37})=$$ $$=(15\cdot log7+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot log5)-({\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot log9+37\cdot log3)\simeq$$ $$\simeq (15\cdot 0,845+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0,699)-({\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 0,954+37\cdot 0,477)\simeq$$ $$\simeq 12,675+0,466-0,716-17,649\simeq -5,224$$

Hay que recordar que este resultado es el exponente al que hay que elevar $10$ (puesto que se han usado logaritmos decimales) para conseguir el cociente de potencias inicial, de modo que:

$${\displaystyle \frac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{37}}}\simeq {10}^{-5,224}\simeq 5,97\cdot {10}^{-6}$$

Ejemplo

${\displaystyle \frac{x}{2x\cdot \sqrt[3]{x}}}$

Concretamente, puede aplicarse el logaritmo en base $x$, con lo que se consigue expresar el número en la misma base y simplificar así el cociente:

$$lo{g}_x{\displaystyle \frac{x}{2x\cdot \sqrt[3]{x}}}=lo{g}_{x}x-(lo{g}_{x}2x-lo{g}_x{x}^{\frac{1}{3}})=$$ $$=1-2-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-1-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{3}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$

El resultado obtenido será el número al que habrá que elevar $x$, ya que se ha utilizado la incógnita como base del logaritmo, de modo que:

${\displaystyle \frac{x}{2x\cdot \sqrt[3]{x}}}=x^{-\frac{4}{3}}$

Ejemplo

En la ecuación $2^x=10$

Si se añaden logaritmos a ambos lados de la igualdad se obtiene

$log{2}^x=log10\Rightarrow x\cdot log2=log10\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{log2}}\simeq {\displaystyle \frac{1}{0,301}}\simeq 3,322$

Por la propiedad de la potencia de un logaritmo resulta fácil despejar $x$ de una expresión como la anterior, y de ahí su utilidad.