Simplificació d'expressions mitjançant logaritmes

Exemple

$$log{\displaystyle \frac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{37}}}=(log{7}^{15}+log{5}^{\frac{2}{3}})-(log{9}^{\frac{3}{4}}+log{3}^{37})=$$ $$=(15\cdot log7+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot log5)-({\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot log9+37\cdot log3)\simeq$$ $$\simeq (15\cdot 0,845+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 0,699)-({\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 0,954+37\cdot 0,477)\simeq$$ $$\simeq 12,675+0,466-0,716-17,649\simeq -5,224$$

Cal recordar que aquest resultat és l'exponent al qual cal elevar $10$ (ja que s'han fet servir logaritmes decimals) per aconseguir el quocient de potències inicial, de manera que:

$${\displaystyle \frac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot 3^{37}}}\simeq {10}^{-5,224}\simeq 5,97\cdot {10}^{-6}$$

Exemple

${\displaystyle \frac{x}{2x\cdot \sqrt[3]{x}}}$

Concretament, es pot aplicar el logaritme en base $x$, amb el que s'aconsegueix expressar el número a la mateixa base i simplificar així el quocient:

$$lo{g}_x{\displaystyle \frac{x}{2x\cdot \sqrt[3]{x}}}=lo{g}_{x}x-(lo{g}_{x}2x-lo{g}_x{x}^{\frac{1}{3}})=$$ $$=1-2-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-1-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{3}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$$

El resultat obtingut serà el número al qual caldrà elevar $x$, ja que s'ha utilitzat la incògnita com a base del logaritme, de manera que:

${\displaystyle \frac{x}{2x\cdot \sqrt[3]{x}}}=x^{-\frac{4}{3}}$

Exemple

En l'equació $2^x=10$

Si s'afegeixen logaritmes a banda i banda de la igualtat s'obté

$log{2}^x=log10\Rightarrow x\cdot log2=log10\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{log2}}\simeq {\displaystyle \frac{1}{0,301}}\simeq 3,322$

Per la propietat de la potència d'un logaritme és fàcil aillar $x$ d'una expressió com l'anterior, i d'aquí la seva utilitat.