Anem a aprendre a crear i resoldre exercicis sobre l'ús de logaritmes per simplificar expressions.
El següent quocient es podria resoldre perfectament amb una calculadora i una mica de paciència:
$$$\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}$$$
Però el maneig de nombres tan grans, com un exponent $$15$$ i un altre $$37$$, se simplifica en aplicar logaritmes.
Sabem que en usar logaritmes, un producte de nombres es transforma en suma, un quocient en resta i una potència en producte.
Per això l'exemple anterior es pot resoldre aplicant logaritmes decimals.
$$$log\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}=\Big(log7^{15}+log5^{\frac{2}{3}}\Big)-\Big(log9^{\frac{3}{4}}+log3^{37}\Big)=$$$ $$$=(15\cdot log7+\dfrac{2}{3}\cdot log5)-(\dfrac{3}{4}\cdot log9+37\cdot log3)\simeq$$$ $$$\simeq(15\cdot0,845 +\dfrac{2}{3}\cdot0,699)-(\dfrac{3}{4}\cdot0,954+37\cdot0,477)\simeq$$$ $$$\simeq12,675+0,466-0,716-17,649\simeq -5,224$$$
Cal recordar que aquest resultat és l'exponent al qual cal elevar $$10$$ (ja que s'han fet servir logaritmes decimals) per aconseguir el quocient de potències inicial, de manera que:
$$$\dfrac{7^{15}\cdot 5^{\frac{2}{3}}}{9^{\frac{3}{4}}\cdot3^{37}}\simeq 10^{-5,224}\simeq 5,97\cdot 10^{-6}$$$
L'expressió següent també es pot simplificar utilitzant logaritmes:
$$\dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}$$
Concretament, es pot aplicar el logaritme en base $$x$$, amb el que s'aconsegueix expressar el número a la mateixa base i simplificar així el quocient:
$$$log_x \dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}=log_x x - \Big(log_x 2x - log_x x^{\frac{1}{3}}\Big)=$$$ $$$=1-2-\dfrac{1}{3}=-1-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{4}{3}$$$
El resultat obtingut serà el número al qual caldrà elevar $$x$$, ja que s'ha utilitzat la incògnita com a base del logaritme, de manera que:
$$\dfrac{x}{2x\cdot\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac{4}{3}}$$
Aquesta capacitat de simplificar els càlculs dels logaritmes també pot traslladada a l'àmbit de les equacions. Pot resultar útil, Per exemple, quan la incògnita es troba en forma d'exponent.
En l'equació $$2^x=10$$
Si s'afegeixen logaritmes a banda i banda de la igualtat s'obté
$$log2^x=log10 \Rightarrow x\cdot log2=log10 \Rightarrow x=\dfrac{1}{log2}\simeq\dfrac{1}{0,301}\simeq 3,322$$
Per la propietat de la potència d'un logaritme és fàcil aillar $$x$$ d'una expressió com l'anterior, i d'aquí la seva utilitat.