Exercicis de Recta tangent a una corba en un punt

a) Definiu una paràbola $f (x)$ amb tots els seus punts en el primer i segon quadrant ( $\forall x \in R, f (x) \geq 0$ ) i un punt $(x_{0}, y_{0})$ situat en el tercer o quart quadrant ( $y_{0} < 0$ ).

b) Trobeu la o les rectes tangents a $f (x)$ que passen pel punt definit. Quantes n'hi ha?

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Es defineix $f (x) = x^{2} + 3$ , i el punt $(x_{0}, y_{0}) = (- 2, - 3)$ .

b) En primer lloc s'expressa l'equació d'una recta que passi pel punt $(x_{0}, y_{0}) :$ $y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$ $y + 3 = m \cdot (x + 2)$

Es deriva $f (x)$ i s'expressa el punt de tangència en funció d'un paràmetre $a$ : $f^{'} (x) = 2 x$ $punt de tangència \equiv (a, a^{2} + 3)$

El pendent de la recta tangent vindrà donat per $m = 2 \cdot a$ , i aquesta recta passarà pel punt de tangència $(a, a^{2} + 3)$ . Substituint en l'equació de la recta tangent: $a^{2} + 3 + 3 = 2 a \cdot (a + 2) \Rightarrow a^{2} + 4 a - 6 = 0 \Rightarrow a = - 2 \pm \sqrt{10}$

S'observa que, en trobar el pendent $(m = 2 \cdot a)$ , s'obtenen dos valors $m_{1} = - 4 + 2 \sqrt{10}$ $m_{2} = - 4 - 2 \sqrt{10}$

Això vol dir que hi haurà dues rectes tangents a $f (x)$ i que passin per $(x_{0}, y_{0}) :$

$\begin{array}{rclr} y_{1} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot (x + 2) - 3 & y_{1} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 + 4 \sqrt{10} \\ \Rightarrow \\ y_{2} = (- 4 - 2 \sqrt{10}) \cdot (x + 2) - 3 & y_{2} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 - 4 \sqrt{10} \end{array}$

Solució:

a) $f (x) = x^{2} + 3$ , $(x_{0}, y_{0}) = (- 2, - 3)$ .

$y_{1} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 + 4 \sqrt{10}$

$y_{2} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 - 4 \sqrt{10}$

$A_{m a x} = 100 m^{2}$

Amagar desenvolupament i solució