a) Definiu una paràbola $$f(x)$$ amb tots els seus punts en el primer i segon quadrant ($$\forall {x} \in \mathbb{R} , f(x)\geq 0$$) i un punt $$(x_0,y_0)$$ situat en el tercer o quart quadrant ($$y_0<0$$).
b) Trobeu la o les rectes tangents a $$f(x)$$ que passen pel punt definit. Quantes n'hi ha?
Desenvolupament:
a) Es defineix $$f(x)=x^2+3$$, i el punt $$(x_0,y_0)=(-2,-3)$$.
b) En primer lloc s'expressa l'equació d'una recta que passi pel punt $$(x_0,y_0):$$ $$$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$$$ $$$y+3=m\cdot (x+2)$$$
Es deriva $$f(x)$$ i s'expressa el punt de tangència en funció d'un paràmetre $$a$$: $$$f'(x)=2x$$$ $$$\mbox{punt de tangència}\equiv(a,a^2+3)$$$
El pendent de la recta tangent vindrà donat per $$m=2\cdot a$$, i aquesta recta passarà pel punt de tangència $$(a,a^2+3)$$. Substituint en l'equació de la recta tangent: $$$a^2+3+3=2a\cdot (a+2) \Rightarrow a^2+4a-6=0 \Rightarrow a=-2\pm\sqrt{10}$$$
S'observa que, en trobar el pendent $$(m=2\cdot a)$$, s'obtenen dos valors $$$m_1=-4+2\sqrt{10}$$$ $$$m_2=-4-2\sqrt{10}$$$
Això vol dir que hi haurà dues rectes tangents a $$f(x)$$ i que passin per $$(x_0,y_0):$$
$$$\begin{eqnarray} & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10} \\\\ & & \Rightarrow & \\\\ & y_2=(-4-2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10} \end{eqnarray}$$$
Solució:
a) $$f(x)=x^2+3$$, $$(x_0,y_0)=(-2,-3)$$.
b)
$$y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10}$$
$$y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10}$$
$$A_{max}=100 \ \mbox{m}^2$$