Ejercicios de Recta tangente a una curva en un punto

a) Defina una parábola $f (x)$ con todos sus puntos en el primer y segundo cuadrante ( $\forall x \in R, f (x) \geq 0$ ) y un punto $(x_{0}, y_{0})$ situado en el tercer o cuarto cuadrante ( $y_{0} < 0$ ).

b) Encuentre la o las rectas tangentes a $f (x)$ que pasan por el punto definido. ¿Cuantas hay?

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Desarrollo:

a) Se define $f (x) = x^{2} + 3$ , y el punto $(x_{0}, y_{0}) = (- 2, - 3)$ .

b) En primer lugar se expresa la ecuación de una recta que pase por el punto $(x_{0}, y_{0}) :$ $y - y_{0} = m \cdot (x - x_{0})$ $y + 3 = m \cdot (x + 2)$

Se deriva $f (x)$ y se expresa el punto de tangencia en función de un parámetro $a$ : $f^{'} (x) = 2 x$ $punto de tangencia \equiv (a, a^{2} + 3)$

El pendiente de la recta tangente vendrá dado por $m = 2 \cdot a$ , y dicha recta pasará por el punto de tangencia $(a, a^{2} + 3)$ . Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente: $a^{2} + 3 + 3 = 2 a \cdot (a + 2) \Rightarrow a^{2} + 4 a - 6 = 0 \Rightarrow a = - 2 \pm \sqrt{10}$

Se observa que, al encontrar el pendiente $(m = 2 \cdot a)$ , se obtienen dos valores: $m_{1} = - 4 + 2 \sqrt{10}$ $m_{2} = - 4 - 2 \sqrt{10}$

Esto significa que habrá dos rectas tangentes a $f (x)$ y que pasen por $(x_{0}, y_{0}) :$

$\begin{array}{rclr} y_{1} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot (x + 2) - 3 & y_{1} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 + 4 \sqrt{10} \\ \Rightarrow \\ y_{2} = (- 4 - 2 \sqrt{10}) \cdot (x + 2) - 3 & y_{2} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 - 4 \sqrt{10} \end{array}$

Solución:

a) $f (x) = x^{2} + 3$ , $(x_{0}, y_{0}) = (- 2, - 3)$ .

$y_{1} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 + 4 \sqrt{10}$

$y_{2} = (- 4 + 2 \sqrt{10}) \cdot x - 11 - 4 \sqrt{10}$

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