a) Defina una parábola $$f(x)$$ con todos sus puntos en el primer y segundo cuadrante ($$\forall {x} \in \mathbb{R} , f(x)\geq 0$$) y un punto $$(x_0,y_0)$$ situado en el tercer o cuarto cuadrante ($$y_0<0$$).
b) Encuentre la o las rectas tangentes a $$f(x)$$ que pasan por el punto definido. ¿Cuantas hay?
Desarrollo:
a) Se define $$f(x)=x^2+3$$, y el punto $$(x_0,y_0)=(-2,-3)$$.
b) En primer lugar se expresa la ecuación de una recta que pase por el punto $$(x_0,y_0):$$ $$$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$$$ $$$y+3=m\cdot (x+2)$$$
Se deriva $$f(x)$$ y se expresa el punto de tangencia en función de un parámetro $$a$$: $$$f'(x)=2x$$$ $$$\mbox{punto de tangencia}\equiv(a,a^2+3)$$$
El pendiente de la recta tangente vendrá dado por $$m=2\cdot a$$, y dicha recta pasará por el punto de tangencia $$(a,a^2+3)$$. Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente: $$$a^2+3+3=2a\cdot (a+2) \Rightarrow a^2+4a-6=0 \Rightarrow a=-2\pm\sqrt{10}$$$
Se observa que, al encontrar el pendiente $$(m=2\cdot a)$$, se obtienen dos valores: $$$m_1=-4+2\sqrt{10}$$$ $$$m_2=-4-2\sqrt{10}$$$
Esto significa que habrá dos rectas tangentes a $$f(x)$$ y que pasen por $$(x_0,y_0):$$
$$$\begin{eqnarray} & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10} \\\\ & & \Rightarrow & \\\\ & y_2=(-4-2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10} \end{eqnarray}$$$
Solución:
a) $$f(x)=x^2+3$$, $$(x_0,y_0)=(-2,-3)$$.
b)
$$y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10}$$
$$y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10}$$