Exercicis de Sistemes homogenis d'EDO a coeficients constants

Desenvolupament:

Observem que es tracta d'un sistema lineal a coeficient constants, on $$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ 0& -1& -1\\ 0& 1& -3\end{array}\right)$$ Els valors propis d'aquesta matriu són:

$$\begin{gathered} {\lambda }_1=-1 \\ {\lambda }_2={\lambda }_3=-2 \end{gathered}$$

i una base de vectors propis és: $$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$ Notem que aquesta matriu no diagonalitza. Per tant ja tenim calculats: $$J=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 1& -2\end{array}\right);S=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$ Sabem que una matriu fonamental del sistema és: $$\varphi (t)=S\cdot e^{tJ}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}{e}^{-t}& 0& 0\\ 0& e^{-2t}& 0\\ 0& t\cdot e^{-2t}& e^{-2t}\end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{-t}& e^{-2t}& 0\\ 0& e^{-2t}+t\cdot e^{-2t}& e^{-2t}\\ 0& t\cdot e^{-2t}& e^{-2t}\end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{-t}& e^{-2t}& 0\\ 0& (t+1)e^{-2t}& e^{-2t}\\ 0& t\cdot e^{-2t}& e^{-2t}\end{array}\right)$$

Multiplicant per un vector de constants, obtenim la nostra solució.

Solució:

$$\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{e}^{-t}& e^{-2t}& 0\\ 0& (t+1)e^{-2t}& e^{-2t}\\ 0& t\cdot e^{-2t}& e^{-2t}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)$$

Amagar desenvolupament i solució