Sistemes homogenis d'EDO a coeficients constants

Un sistema d'equacions diferencials lineals és una EDO (equació diferencial ordinària) del tipus: $x^{'} (t) = A (t) \cdot x + b (t)$ on, $A (t)$ és una matriu, $n \times n$ , de funcions en la variable $t$ , $b (t)$ és un vector de dimensió $n$ de funcions en la variable $t$ , i $x$ és un vector de mida $n$ que és la funció que volem trobar.

Exemple

Un exemple de sistema d'EDO's lineal seria: ${(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & \ln t \\ - e^{t} & 3 \cos t \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} e^{t} \\ 3 e^{t} \end{matrix})$

Un sistema lineal de dimensió $n$ té $n$ solucions linealment independents i resoldre el sistema significa trobar-les totes. Tota solució és una combinació lineal d'aquestes $n$ solucions. Així, donat un vector de condicions inicials ( $n$ ), determinarem les $n$ constants trobant una única solució.

Quan resolem un sistema lineal posarem els $n$ vectors solució (linealment independents) a les columnes d'una matriu, l'anomenada matriu fonamental del sistema (de mida $n \times n$ ). Per tant, entendrem per resoldre el sistema trobar una matriu fonamental. Multiplicant aquesta matriu per un vector de constants arbitràries tindrem la solució general.

Una propietat important de les matrius fonamentals és que, si multipliquem una matriu fonamental per una matriu constant amb determinant diferent de zero, el resultat és una altra matriu fonamental (és important que la matriu constant es multipliqui per la dreta, si no, no és cert).

Per resoldre aquest tipus d'equacions no hi ha mètodes explícits (només en dimensió $1$ ). Tot i això, hi ha alguns casos particulars que sí que sabrem resoldre: Sistemes d'EDO's homogenis a coeficients constants, sistemes d'EDO's a coeficients constants no homogenis, i sistemes triangulars d'equacions diferencials.

En aquest tema ens centrarem en Sistemes d'EDO's homogenis a coeficients constants.

Considerem el problema: $x^{'} (t) = A \cdot x (t)$ . Llavors una matriu fonamental és: $ϕ (t) = e^{t A}$ . Per fer el càlcul d'elevar $e$ a una matriu $A$ és útil tenir aquesta matriu en forma de Jordan.

Per tant, primer de tot calculem la forma de Jordan de la matriu $A$ . Llavors es té $A = S \cdot J \cdot S^{- 1}$ , on $J$ és la forma reduïda de Jordan de la matriu $A$ i $S$ és el canvi de base.

Llavors es compleix que $e^{A} = e^{S J S^{-} 1} = S \cdot e^{J} \cdot S^{- 1}$ . A més, tenint en compte que $S^{- 1}$ és una matriu constant amb determinant diferent de zero, si $ϕ (t) = e^{t A} = S \cdot e^{t J} \cdot S^{- 1}$ és una matriu fonamental, llavors $ϕ (t) = S \cdot e^{t J}$ també és matriu fonamental.

Ara explicarem com es calcula l'exponencial d'una matriu en forma de Jordan.

Explicarem fins a dimensió tres:

Si $J$ és una matriu diagonal. Llavors $e^{t J} = (\begin{matrix} e^{λ_{1} t} & 0 \\ 0 & e^{λ_{2} t} \end{matrix}), e^{t J} = (\begin{matrix} e^{λ_{1} t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{λ_{2} t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{λ_{3} t} \end{matrix})$ per als casos de dimensió $2$ i $3$ , on $λ$ són els valors propis de la matriu. És a dir, l'exponencial d'una matriu diagonal és la matriu diagonal amb l'exponencial dels valors propis en la diagonal.
Si $J$ és una matriu del tipus: $J = (\begin{matrix} λ & 0 \\ 1 & λ \end{matrix})$ aleshores $e^{t J} = (\begin{matrix} e^{λ t} & 0 \\ t \cdot e^{λ t} & e^{λ t} \end{matrix})$
Si $J$ és una matriu del tipus: $J = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 1 & λ_{3} \end{matrix})$ aleshores $e^{t J} = (\begin{matrix} e^{λ_{1} t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{λ_{2} t} & 0 \\ 0 & t \cdot e^{λ_{2} t} & e^{λ_{3} t} \end{matrix})$
Si $J$ és una matriu del tipus : $J = (\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 1 & λ & 0 \\ 0 & 1 & λ \end{matrix})$ aleshores $e^{t J} = (\begin{matrix} e^{λ t} & 0 & 0 \\ t \cdot e^{λ t} & e^{λ t} & 0 \\ \frac{t^{2}}{2} \cdot e^{λ t} & t \cdot e^{λ t} & e^{λ t} \end{matrix})$ Per tant, tenim que la solució és: $x (t) = ϕ (t) \cdot C = S \cdot e^{t J} \cdot C$ , on $C$ és un vector de constants a determinar amb les condicions inicials. Si tenim $x (t_{0}) = x_{0}$ , vector de condicions inicials, llavors $C = ϕ (t_{0})^{- 1} \cdot x_{0}$ i tenim la solució del PVI (Problema de Valor Inicial).

Vegem-ho de forma més clara amb un exemple.

Exemple

Considerem el sistema: ${(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ La matriu és a coeficients constants, per tant, com ja hem dit, $ϕ (t) = e^{t A}$ és una matriu fonamental.

Per calcular l'exponencial d'una matriu calcularem la seva matriu de Jordan.

Per això calculem els valors propis de la matriu: $| \begin{matrix} - λ & 1 \\ - 1 & 2 - λ \end{matrix} | = - λ (2 - λ) + 1 = 0 \Leftrightarrow λ^{2} - 2 λ + 1 = 0 \Rightarrow= {\begin{array}{rcl} λ_{1} & = & 1 \\ λ_{2} & = & 1 \end{array}$ Així doncs tenim un valor propi de multiplicitat $2$ .

Per saber si diagonalitza hem de calcular el rang de la matriu $(A - λ \cdot I d) = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$ Que clarament és $1$ .

Com que les multiplicitats aritmètiques i geomètriques no coincideixen, la matriu no diagonalitza.

Així doncs, la forma de Jordan de la matriu serà: $J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ Busquem ara una base de vectors propis de la matriu.

Escollim $v_{2} \in Ker (A - λ \cdot I d) i v_{1} \in Ker ((A - λ \cdot I d)^{2}), v_{1} \notin Ker (A - λ \cdot I d)$ .

Escrivim, doncs, les matrius: $A - λ \cdot I d = (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}), (A - λ \cdot I d)^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$

Per tant escollint $v_{1} = (0, 1)$ , és clar que $v_{1} \in Ker ((A - λ \cdot I d)^{2}), v_{1} \notin Ker (A - λ \cdot I d)$ .

Per $v_{2}$ prenem $v_{2} = (1, 1)$ ja que $(\begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix})$ i per tant $v_{2} \in Ker (A - λ \cdot I d)$ .

D'aquesta manera tenim que la matriu de canvi de base és: $S = (\begin{matrix} = 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})$ Tal com hem explicat l'exponencial d'una forma de Jordan és: $e^{t J} = (\begin{matrix} e^{t} & 0 \\ t \cdot e^{t} & e^{t} \end{matrix})$

Per tant una matriu fonamental serà: $ϕ (t) = S \cdot e^{t J} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} e^{t} & 0 \\ t \cdot e^{t} & e^{t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} t \cdot e^{t} & e^{t} \\ e^{t} + t \cdot e^{t} & e^{t} \end{matrix}) = e^{t} (\begin{matrix} t & 0 \\ t + 1 & 1 \end{matrix})$

Si, per exemple, ens demanen la solució que satisfà la condició inicial: $(\begin{matrix} x (0) \\ y (0) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix})$ aquesta solució és: $(\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix}) = ϕ (t) \cdot ϕ (t_{0})^{- 1} \cdot (\begin{matrix} x (0) \\ y (0) \end{matrix}) = e^{t} (\begin{matrix} t & 0 \\ t + 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) =$ $= e^{t} (\begin{matrix} t & 0 \\ t + 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) = e^{t} (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 e^{t} \\ 2 e^{t} \end{matrix})$