Sistemes triangulars d'equacions diferencials

Un sistema d'equacions diferencials lineals és una EDO (equació diferencial ordinària) del tipus: $x^{'} (t) = A (t) \cdot x + b (t)$ on, $A (t)$ és una matriu, $n \times n$ , de funcions en la variable $t$ , $b (t)$ és un vector de dimensió $n$ de funcions en la variable $t$ , i $x$ és un vector de mida $n$ que és la funció que volem trobar.

Exemple

Un exemple de sistema d'EDO's lineal seria: ${(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})}^{'} = (\begin{matrix} 0 & \ln t \\ - e^{t} & 3 \cos t \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} e^{t} \\ 3 e^{t} \end{matrix})$

Un sistema lineal de dimensió $n$ té $n$ solucions linealment independents i resoldre el sistema significa trobar-les totes. Tota solució és una combinació lineal d'aquestes $n$ solucions. Així, donat un vector de condicions inicials ( $n$ ), determinarem les $n$ constants trobant una única solució.

Quan resolem un sistema lineal posarem els $n$ vectors solució (linealment independents) a les columnes d'una matriu, l'anomenada matriu fonamental del sistema (de mida $n \times n$ ). Per tant, entendrem per resoldre el sistema trobar una matriu fonamental. Multiplicant aquesta matriu per un vector de constants arbitràries tindrem la solució general.

Una propietat important de les matrius fonamentals és que, si multipliquem una matriu fonamental per una matriu constant amb determinant diferent de zero, el resultat és una altra matriu fonamental (és important que la matriu constant es multipliqui per la dreta, si no, no és cert).

Per resoldre aquest tipus d'equacions no hi ha mètodes explícits (només en dimensió $1$ ). Tot i això, hi ha alguns casos particulars que sí que sabrem resoldre: Sistemes d'EDO's homogenis a coeficients constants, sistemes d'EDO's a coeficients constants no homogenis, i sistemes triangulars d'equacions diferencials.

En aquest tema ens centrarem en els sistemes triangulars d'equacions diferencials.

Sabem com resoldre sistemes lineals a coeficients constants, i que no existeixen mètodes que resolguin sistemes on la matriu $A$ sigui una matriu de funcions, llevat que es tracti d'una matriu molt especial, per exemple una matriu triangular.

Suposem que tenim el següent sistema: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} (t) & 0 & 0 \\ a_{21} (t) & a_{22} (t) & 0 \\ a_{31} (t) & a_{32} (t) & a 33 (t) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} (t) \\ b_{2} (t) \\ b_{3} (t) \end{matrix})$ és a dir, un sistema lineal triangular no homogeni.

La idea és anar resolent el sistema per passos. Fixem-nos en la primera equació: $x^{'} (t) = a_{11} (t) \cdot x (t) + b_{1} (t)$

Es tracta d'una equació lineal com les resoltes en el primer tema d'equacions diferencials.

Per tant sabem calcular la seva solució.

Ara ens fixem en la segona equació: $y^{'} (t) = a_{21} (t) \cdot x (t) + a_{2} 2 (t) \cdot y (t) + b_{2} (t)$ Ara, $x (t)$ , ja no és una incògnita.

Substituint la funció obtinguda en el pas anterior tenim $y^{'} (t) = a_{22} (t) \cdot y (t) + {\tilde{b}}_{2} (t), on {\tilde{b}}_{2} (t) = a_{12} (t) \cdot x (t) + b_{2} (t)$ és una funció coneguda.

Per tant obtenim una altra equació lineal que ja sabem resoldre.

Finalment, agafem la tercera equació i substituïm els valors de $x (t)$ i $y (t)$ , obtenint: $z^{'} (t) = a_{33} (t) \cdot z (t) + {\tilde{b}}_{3} on {\tilde{b}}_{3} (t) = a_{31} (t) \cdot x (t) + a_{32} (t) \cdot y (t) + b_{3} (t)$ que és una funció coneguda. Es tracta doncs d'una altra equació lineal que ja sabem resoldre.

Notem que hem considerat una matriu triangular inferior, i que utilitzaríem el mateix procediment si tinguéssim una matriu triangular superior però començant per baix.

D'aquesta manera ja hem resolt el sistema.

Vegem-ho més clarament amb un exemple.

Exemple

Considerem el següent sistema: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{t} & 0 & 0 \\ t & \frac{2}{t} & 0 \\ - t^{3} & t & \frac{3}{t} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 t^{2} \\ - t^{4} \\ t^{6} \end{matrix})$ Anem a procedir de la manera que hem descrit:

Prenem la primera equació: $x^{'} = \frac{1}{t} \cdot x + 2 t^{2}$ Com que es tracta d'una EDO lineal, la resolem seguint el procediment descrit anteriorment:
- Resolució de la part homogènia: $x_{h} (t) = k_{1} \cdot e^{\int \frac{1}{t} d t} = k_{1} \cdot e^{\ln t} = k_{1} \cdot t$
- Recerca d'una solució particular: $x_{p} (t) = t \cdot u (t)$ , on $u (t)$ compleix: $u^{'} = \frac{2 t^{2}}{t} = 2 t$ . Per tant, $u (t) = t^{2}$ i, d'aquesta manera $x_{p} (t) = t^{3}$
- Solució general $x (t) = k_{1} \cdot t + t^{3}$
Prenem la segona equació, substituint el valor trobat de x: $y^{'} = t \cdot x + \frac{2}{t} \cdot y - t^{4} = t \cdot (k_{1} \cdot t + t^{3}) + \frac{2}{t} \cdot y - t^{4} = \frac{2}{t} \cdot y + k_{1} \cdot t^{2}$
- Resolució de la part homogènia: $y_{h} (t) = k_{2} \cdot e^{\int \frac{2}{t} d t} = k_{2} \cdot e^{\ln t^{2}} = k_{2} \cdot t^{2}$
- Recerca d'una solució particular: $y_{p} (t) = t^{2} \cdot u (t)$ , on $u (t)$ compleix: $u^{'} = \frac{k_{1} \cdot t^{2}}{t^{2}} = k_{1}$ . Per tant, $u (t) = k_{1} \cdot t$ i, daquesta manera $y_{p} (t) = k_{1} \cdot t^{3}$
- Solució general $y (t) = k_{2} \cdot t^{2} + k_{1} \cdot t^{3}$
Prenem la tercera equació, substituint el valor trobat de $x$ i $y$ : $z^{'} = - t^{3} \cdot x + t \cdot y + \frac{3}{t} \cdot z + t^{6} =$ $= - t^{3} \cdot (k_{1} \cdot t + t^{3}) + t \cdot (k_{2} \cdot t^{2} + k_{1} \cdot t^{3}) + \frac{3}{t} \cdot z + t^{6} =$ $= \frac{3}{t} \cdot z + k_{2} \cdot t^{3}$
- Resolució de la part homogènia: $z_{h} (t) = k_{3} \cdot e^{\frac{3}{t} d t} = k_{3} \cdot e^{\ln t^{3}} = k_{3} \cdot t^{3}$
- Recerca d'una solució particular: $z_{p} (t) = t^{3} \cdot u (t)$ , on $u (t)$ compleix: $u^{'} (t) = \frac{k_{2} \cdot t^{3}}{t^{3}} = k_{2}$ . Per tant, $u (t) = k_{2} \cdot t$ i, d'aquesta manera $z_{p} (t) = k_{2} \cdot t^{4}$
- Solució general $z (t) = k_{3} \cdot t^{3} + k_{2} \cdot t^{4}$

Per tant la solució del sistema és: $(\begin{matrix} x (t) \\ y (t) \\ z (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} k_{1} \cdot t + t^{3} \\ k_{2} \cdot t^{2} + k_{1} \cdot t^{3} \\ k_{3} \cdot t^{3} + k_{2} \cdot t^{4} \end{matrix})$