Exercicis de Sistemes triangulars d'equacions diferencials

Resoldre el següent sistema lineal:

${\begin{array}{rcl} x_{1}^{'} & = & - x_{1}^{'} \\ x_{2}^{'} & = & x_{1} \cdot \sin t - x_{2} \end{array}$

Desenvolupament:

Escrivim la matriu del sistema $A (t) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ \sin (t) & - 1 \end{matrix})$ Es tracta d'una matriu a coeficients no constants però triangular.

Per tant considerem la primera equació: $x_{1}^{'} = - x_{1}$ Es tracta d'una EDO lineal, de fet separable. Així: $x_{1}^{'} = - x_{1} \Rightarrow \frac{d x_{1}}{d t} = - x_{1} \Rightarrow \frac{d x_{1}}{x_{1}} = - d t \Rightarrow \int \frac{d x_{1}}{x_{1}} = \int - d t \Rightarrow$ $\Rightarrow \ln | x_{1} (t) | = - t + C, C \in R \Rightarrow | x_{1} (t) | = k_{1} \cdot e^{- t}, k_{1} \geq 0 \Rightarrow$ $\Rightarrow x_{1} (t) = k_{1} \cdot e^{- t}, k_{1} \in R$ Col·loquem aquesta solució en la seva segona equació: $x_{2}^{'} = (\sin (t)) \cdot x_{1} - x_{2} = - x_{2} + k_{1} \cdot \sin (t) \cdot e^{- t}$ que es tracta d'una EDO lineal no homogènia.

Resolguem la part homogènia, (que és la mateixa equació que l'anterior): $x_{2 h}^{'} = - x_{2 h} \Rightarrow x_{2 h} (t) = k_{2} \cdot e^{- t}, k_{2} \in R$ Busquem una solució particular de la forma $x_{2 p} = u (t) \cdot e^{- t}$ .

Imposem que sigui solució: $\begin{array}{l} x_{2 p}^{'} = u^{'} \cdot e^{- t} - u \cdot e^{- t} \\ x_{2 p}^{'} = k_{1} \sin (t) \cdot e^{- t} - u \cdot e^{- t} \end{array}} \Rightarrow u^{'} (t) = k_{1} \sin (t)$ Per tant $u (t) = k_{1} \cdot \int \sin (t) \cdot d t = k_{1} (- \cos (t)) = - k_{1} \cdot \cos (t)$ Finalment $x_{2} (t) = x_{2 h} (t) + x_{2 p} (t) = k_{2} \cdot e^{- t} - k_{1} \cdot e^{- t} \cdot \cos (t) = e^{- t} (k_{2} - k_{1} \cdot \cos (t))$

Solució:

$(\begin{matrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \end{matrix}) = (\begin{matrix} k_{1} \cdot e^{- t} \\ e^{- t} (k_{2} - k_{1} \cdot \cos (t)) \end{matrix}), k_{1}, k_{2} \in R$

Amagar desenvolupament i solució