Ejercicios de Sistemas triangulares de ecuaciones diferenciales

Resolver el siguiente sistema lineal:

{x1=x1x2=x1sintx2

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Desarrollo:

Escribamos la matriz del sistema A(t)=(10sin(t)1) Se trata de una matriz a coeficientes no constantes pero triangular.

Por lo tanto consideremos la primera ecuación: x1=x1 Se trata de una EDO lineal, de hecho separable. Así: x1=x1dx1dt=x1dx1x1=dtdx1x1=dt ln|x1(t)|=t+C, CR|x1(t)|=k1et, k10 x1(t)=k1et, k1R Insertamos esta solución en la segunda ecuación: x2=(sin(t))x1x2=x2+k1sin(t)et que se trata de una EDO lineal no homogénea.

Resolvamos la parte homogénea, (que es la misma ecuación que la anterior): x2h=x2hx2h(t)=k2et, k2R Busquemos una solución particular de la forma x2p=u(t)et.

Impongamos que sea solución: x2p=uetuetx2p=k1sin(t)etuet}u(t)=k1sin(t) Por lo tanto u(t)=k1sin(t)dt=k1(cos(t))=k1cos(t) Finalmente x2(t)=x2h(t)+x2p(t)=k2etk1etcos(t)=et(k2k1cos(t))

Solución:

(x1(t)x2(t))=(k1etet(k2k1cos(t))),  k1,k2R

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