Exercicis de Sistemes lineals de tres equacions amb tres incògnites

Desenvolupament:

En primer lloc es posa la tercera equació en primer lloc, i s'elimina la variable $x$ de la segona equació. $$\{\begin{array}{rcl}x+y-z& =& 1\\ 2x+2y+2z& =& 2\\ 2x-2y+2z& =& 3\end{array}$$ $$E{2}^{\prime }=E2-2\cdot E1$$ $$\{\begin{array}{rcl}x+y-z& =& 1\\ 4z& =& 0\\ 2x-2y+2z& =& 3\end{array}$$

Es pot observar que també s'ha eliminat la variable y de la segona equació. Així doncs $z=0$ i es té un sistema de dues equacions i dues variables, que es pot resoldre fàcilment per substitució: $$\begin{gathered} \{\begin{array}{rcl}x+y& =& 1\\ 2x-2y& =& 3\end{array} \\ 2(1-y)-2y=3\Rightarrow 2-4y=3\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{4}} \\ x={\displaystyle \frac{5}{4}} \end{gathered}$$

Així doncs, $$x={\displaystyle \frac{5}{4}};y=-{\displaystyle \frac{1}{4}};z=0$$

El canvi de signe en la tercera equació fa que les equacions 1 i 3 siguin proporcionals, és a dir, contenen la mateixa informació. $$\{\begin{array}{rcl}2x+2y+2z& =& 2\\ 2x-2y+2z& =& 3\\ x+y\boxed{\text{+}}z& =& 1\end{array}$$ $$\{\begin{array}{rcl}2x-2y+2z& =& 3\\ x+y+z& =& 1\end{array}$$ $$E{1}^{\prime }=E1-2\cdot E2$$ $$\{\begin{array}{rcl}z& =& 1\\ x+y+z& =& 1\end{array}$$ $$x+y+1=1\Rightarrow y=-x$$

En tenir més variables que equacions, no es podrà trobar una solució simple. El grau de llibertat que queda fa que la solució sigui una recta (tall de dos plans).

Solució:

$x={\displaystyle \frac{5}{4}};y=-{\displaystyle \frac{1}{4}};z=0$

$y=-x;z=1$

Amagar desenvolupament i solució