Ejercicios de Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

Desarrollo:

En primer lugar se coloca la tercera ecuación en primer lugar, y se elimina la variable $x$ de la segunda ecuación. $$\{\begin{array}{rcl}x+y-z& =& 1\\ 2x+2y+2z& =& 2\\ 2x-2y+2z& =& 3\end{array}$$ $$E{2}^{\prime }=E2-2\cdot E1$$ $$\{\begin{array}{rcl}x+y-z& =& 1\\ 4z& =& 0\\ 2x-2y+2z& =& 3\end{array}$$

Se puede observar que también se ha eliminado la variable y de la segunda ecuación. Así pues $z=0$ y se tiene un sistema de dos ecuaciones y dos variables, que se puede resolver fácilmente por sustitución: $$\begin{gathered} \{\begin{array}{rcl}x+y& =& 1\\ 2x-2y& =& 3\end{array} \\ 2(1-y)-2y=3\Rightarrow 2-4y=3\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{4}} \\ x={\displaystyle \frac{5}{4}} \end{gathered}$$

Así pues, $$x={\displaystyle \frac{5}{4}};y=-{\displaystyle \frac{1}{4}};z=0$$

El cambio de signo en la tercera ecuación hace que las ecuaciones 1 y 3 sean proporcionales, es decir, contienen la misma información. $$\{\begin{array}{rcl}2x+2y+2z& =& 2\\ 2x-2y+2z& =& 3\\ x+y\boxed{\text{+}}z& =& 1\end{array}$$ $$\{\begin{array}{rcl}2x-2y+2z& =& 3\\ x+y+z& =& 1\end{array}$$ $$E{1}^{\prime }=E1-2\cdot E2$$ $$\{\begin{array}{rcl}z& =& 1\\ x+y+z& =& 1\end{array}$$ $$x+y+1=1\Rightarrow y=-x$$

Al tener más variables que ecuaciones, no se podrá encontrar una solución simple. El grado de libertad que queda hace que la solución sea una recta (corte de dos planos).

Solución:

$x={\displaystyle \frac{5}{4}};y=-{\displaystyle \frac{1}{4}};z=0$

$y=-x;z=1$

Ocultar desarrollo y solución