Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional $R^{3}$ . En algunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución.

Para resolver este tipo de sistemas se aplicará reducción, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Por ello, se utilizará el método de Gauss.

Ejemplo

Resolver:

${\begin{matrix} 3 x + 2 y + z = 1 \\ 5 x + 3 y + 4 z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{matrix}$

1) Se coloca como primera ecuación la que tenga $1$ o $- 1$ como coeficiente de $x$ .

Si no hubiera ninguna se pone como primera ecuación la que tenga $y$ o $z$ con coeficiente $1$ o $- 1$ , y se cambia el orden de las variables. O también podemos dividir la primera ecuación por el coeficiente de $x$ .

${\begin{matrix} x + y - z = 1 \\ 3 x + 2 y + z = 1 \\ 5 x + 3 y + 4 z = 2 \end{matrix}$

2) Se utiliza el método de reducción para las ecuaciones $1$ y $2$ ( $E 1$ y $E 2$ ), con el objetivo de eliminar la variable $x$ de la segunda ecuación:

$E 2^{'} = E 2 - 3 \cdot E 1$

$\begin{array}{rcl} 3 x + 2 y + z = 1 \\ + & \underset{―}{- 3 x - 3 y + 3 z = - 3} \\ - y + 4 z = - 2 \end{array}$

3) Se repite el mismo procedimiento con $E 1$ y $E 3$ , para eliminar la variable $x$ de $E 3$ :

$E 3^{'} = E 3 - 5 \cdot E 1$

$\begin{array}{rcl} 5 x + 3 y + 4 z = 2 \\ + & \underset{―}{- 5 x - 5 y + 5 z = - 5} \\ - 2 y + 9 z = - 3 \end{array}$

4) Con las nuevas ecuaciones $2$ y $3$ ( $E 2^{'}$ y $E 3^{'}$ ) se utiliza el mismo procedimiento para eliminar la variable $y$ de $E 3^{'}$ :

$E 3^{''} = E 3^{'} - 2 \cdot E 2^{'}$

$\begin{array}{rcl} - 2 y + 9 z = - 3 \\ + & \underset{―}{2 y - 8 z = 4} \\ z = 1 \end{array}$

5) Así pues, el sistema escalonado equivalente al del enunciado es:

${\begin{matrix} x + y - z = 1 \\ - y + 4 z = - 2 \\ z = 1 \end{matrix}$

6) Se resuelve desde la tercera ecuación hasta la primera:

$E 3 : z = 1$

$E 2 : - y + 4 = - 2 \Rightarrow y = 6$

$E 1 : x + 6 - 1 = 1 \Rightarrow x = - 4$

Es decir, los tres planos cortan en un sólo punto $(- 4, 6, 1)$ .

Nota: Es habitual el uso de notación matricial para la resolución de este tipo de problemas. El enunciado del ejemplo anterior se escribiría:

${\begin{matrix} 3 x + 2 y + z = 1 \\ 5 x + 3 y + 4 z = 2 \\ x + y - z = 1 \end{matrix} \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$

Además, dicha notación ofrece ciertas ventajas para el análisis del sistema, ya que el cálculo del determinante puede ser útil para tener una idea de las soluciones que se obtendrán.

Si el determinante no es nulo, el sistema es compatible determinado, es decir, tiene una única solución.
Si el determinante es nulo, el sistema puede ser:
- Compatible indeterminado: si tiene ecuaciones proporcionales y, por lo tanto, infinitas soluciones.
- Incompatible: No tiene soluciones.