Método de Cramer

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es a priori complicado, aunque se dispone de métodos para atacar dichos problemas.

Existe por ejemplo el método de Gauss, pero ahora vamos a ver la regla o método de Cramer.

Dicha regla sólo puede utilizarse si el sistema de ecuaciones que se pretende resolver cumple dos condiciones:

El sistema tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.
El determinante de la matriz de los coeficientes es diferente de cero.

Ejemplo

Véase a continuación el procedimiento que debe seguirse para utilizar la regla de Cramer. Sea un sistema que cumple las dos condiciones necesarias: ${\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ x - 2 y + 3 z = 2 \\ x - z = 5 \end{matrix}$ Lo primero será reescribir el sistema mediante la matriz de los coeficientes y calcular su determinante para asegurarnos que es distinto de cero $(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ Y el determinante es $Δ = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = 2$ (efectivamente, distinto de cero).

Definimos ahora los determinantes $Δ_{i}$ que resultan de cambiar la columna $i$ de la matriz de coeficientes por la columna de términos independientes. Calculemos dichos determinantes:

$Δ_{1} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 2 & 3 \\ 5 & 0 & 1 \end{matrix} | = 21,$ $Δ_{2} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \end{matrix} | = 8,$ $Δ_{3} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix} | = - 11$

La regla de Cramer dice que la soluciones del sistema de ecuaciones son $x_{i} = \frac{Δ_{i}}{Δ}$ .

En este caso, pues, $x_{1} = \frac{21}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 8}{2}$ , $x_{3} = \frac{- 11}{2}$ .

Visto este primer ejemplo a continuación se dan los pasos generales para cualquier sistema. ${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} + \dots + a_{3 n} x_{n} = b_{3} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + a_{m 3} x_{3} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}$

1) Se comprueba que el sistema cumpla las dos condiciones: igual número de incógnitas que de ecuaciones $(n = m)$ y determinante de la matriz de los coeficientes diferente de cero $(Δ \neq 0)$

2) Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes $Δ = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |$

3) Se calculan los determinantes $Δ_{i}$ sustituyendo la columna $i$ por la columna de los términos independientes:

$Δ_{1} = | \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ b_{m} & a_{m 2} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |$ , $Δ_{2} = | \begin{matrix} a_{11} & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & b_{m} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |$ , $\dots$ , $Δ_{n} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & b_{m} \end{matrix} |$

4) Se hallan las soluciones $x_{i} = \frac{Δ_{i}}{Δ}$

Sistemas homogéneos

Si un sistema de $m$ ecuaciones y $n$ incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

Sólo admite la solución trivial: $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo. Por lo tanto, para resolver un sistema homogéneo deberemos imponer que el determinante no sea cero para ver que su solución no es la trivial.