Mètode de Cramer

Resoldre un sistema d'equacions lineals és a priori complicat, encara que es disposa de mètodes per atacar aquests problemes.

Existeix per exemple el mètodo de Gauss, però ara anem a veure la regla o mètode de Cramer.

Aquesta regla només es pot utilitzar si el sistema d'equacions que es pretén resoldre compleix dues condicions:

El sistema té el mateix nombre d'incògnites que d'equacions.
El determinant de la matriu dels coeficients és diferent de zero.

Exemple

Vegeu a continuació el procediment que cal seguir per utilitzar la regla de Cramer. Sigui un sistema que compleix les dues condicions necessàries: ${\begin{matrix} x + y + z = 1 \\ x - 2 y + 3 z = 2 \\ x - z = 5 \end{matrix}$ El primer serà reescriure el sistema mitjançant la matriu dels coeficients i calcular el seu determinant per assegurar-nos que és diferent de zero $(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ I el determinant és $Δ = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = 2$ (efectivament, diferent de zero).

Definim ara els determinants $Δ_{i}$ que resulten de canviar la columna $i$ de la matriu de coeficients per la columna de termes independents. Calculem aquests determinants:

$Δ_{1} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 2 & 3 \\ 5 & 0 & 1 \end{matrix} | = 21,$ $Δ_{2} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \end{matrix} | = 8,$ $Δ_{3} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix} | = - 11$

La regla de Cramer diu que les solucions del sistema d'equacions són $x_{i} = \frac{Δ_{i}}{Δ}$ .

En aquest cas, doncs, $x_{1} = \frac{21}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 8}{2}$ , $x_{3} = \frac{- 11}{2}$ .

Vist aquest primer exemple a continuació es donen els passos generals per a qualsevol sistema. ${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} + \dots + a_{3 n} x_{n} = b_{3} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + a_{m 3} x_{3} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}$

1) Es comprova que el sistema compleixi les dues condicions: igual nombre d'incògnites que d'equacions $(n = m)$ i determinant de la matriu dels coeficients diferent de zero $(Δ \neq 0)$

2) Es calcula el determinant de la matriu de coeficients $Δ = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |$

3) Es calculen els determinants $Δ_{i}$ substituint la columna $i$ per la columna dels termes independents:

$Δ_{1} = | \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ b_{2} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ b_{m} & a_{m 2} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |$ , $Δ_{2} = | \begin{matrix} a_{11} & b_{1} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & b_{2} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & b_{m} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |$ , $\dots$ , $Δ_{n} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & b_{m} \end{matrix} |$

4) Es troben les solucions $x_{i} = \frac{Δ_{i}}{Δ}$

Sistemes homogenis

Si un sistema de $m$ equacions i $n$ incògnites té tots els termes independents nuls es diu que és homogeni.

Només admet la solució trivial $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$

La condició necessària i suficient perquè un sistema homogeni tingui solucions diferents de la trivial és que el rang de la matriu dels coeficients sigui menor que el nombre d'incògnites, o dit d'una altra manera, que el determinant de la matriu dels coeficients sigui nul. Per tant, per resoldre un sistema homogeni haurem imposar que el determinant no sigui zero per veure que la seva solució no és la trivial.