La condició necessària i suficient perquè un sistema de $$m$$ equacions i $$n$$ incògnites tingui solució és que el rang de la matriu dels coeficients $$(r)$$ i el de la matriu ampliada $$(r')$$ siguin iguals.
- $$r = r'$$ Sistema Compatible.
- $$r = r'= n$$ Sistema Compatible Determinat.
- $$r = r'\neq n$$ Sistema Compatible Indeterminat.
- $$r \neq r'$$ Sistema Incompatible.
on com dèiem, $$r$$ és el Rang de la matriu del sistema i $$r'$$ és el Rang de la matriu ampliada del sistema.
Evidentment per a la correcta utilització d'aquest teorema un ha d'haver assimilat què és i com es calcula el rang d'una matriu.
Quan la part tècnica no és problema, aquest teorema ens permet fer una discussió sobre els sistemes d'equacions.
Vegem el següent exemple:
Sigui el sistema d'equacions: $$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-y-2z=-2 \\ -x+y+z=0 \\ x-2y+z=8 \\ 2x-2y=6 \end{array} \right.$$$
1) Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$$ (i es calcula el rang) $$$|2|=2\neq0; \ \ \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right|=1\neq0; \ \ \left| \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{matrix} \right|=2\neq0$$$ o sigui, $$r(A) = 3$$.
2) Es troba el rang de la matriu ampliada.
Es mira la matriu d'ordre $$4$$ (ja s'ha comprovat que fins ordre $$3$$ podem trobar alguna matriu amb determinant no nul)
$$$|A'|=\left| \begin{matrix} 2 & -1 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 8 \\ 2 & -2 & 0 & 6 \end{matrix} \right|=0$$$ o sigui, $$r(A')=3=r(A)$$.
3) S'aplica el teorema de Rouché: $$r(A)=r(A')=n$$, i per tant és un Sistema compatible determinat.
4) Es resol el sistema, si aquest no és incompatible, per la regla de Cramer o pel mètode de Gauss.
Prenem el sistema que correspon a la submatriu d'ordre $$3$$, que té rang $$3$$, i ho resolem.
$$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-y-2z=-2 \\ -x+y+z=0 \\ x-2y+z=8 \end{array} \right.$$$ El resolem utilitzant la regla de Cramer:
$$$x=\dfrac{\left| \begin{matrix} -2 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 8 & -2 & 1 \end{matrix} \right|}{2}=\dfrac{2}{2}=1; \ \ y=\dfrac{\left| \begin{matrix} 2 & -2 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 8 & 1 \end{matrix} \right|}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2$$$ $$$z=\dfrac{\left| \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{matrix} \right|}{2}=\dfrac{6}{2}=3$$$