Teorema de Rouché-Fröbenius

La condició necessària i suficient perquè un sistema de m equacions i n incògnites tingui solució és que el rang de la matriu dels coeficients (r) i el de la matriu ampliada (r′) siguin iguals.

  • r=r′ Sistema Compatible.
    • r=r′=n Sistema Compatible Determinat.
    • r=r′≠n Sistema Compatible Indeterminat.
  • r≠r′ Sistema Incompatible.

on com dèiem, r és el Rang de la matriu del sistema i r′ és el Rang de la matriu ampliada del sistema.

Evidentment per a la correcta utilització d'aquest teorema un ha d'haver assimilat què és i com es calcula el rang d'una matriu.

Quan la part tècnica no és problema, aquest teorema ens permet fer una discussió sobre els sistemes d'equacions.

Vegem el següent exemple:

Exemple

Sigui el sistema d'equacions: {2x−y−2z=−2−x+y+z=0x−2y+z=82x−2y=6

1) Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. (2−1−2−1111−212−20) (i es calcula el rang) |2|=2≠0;  |2−1−11|=1≠0;  |2−1−2−1111−21|=2≠0 o sigui, r(A)=3.

2) Es troba el rang de la matriu ampliada.

Es mira la matriu d'ordre 4 (ja s'ha comprovat que fins ordre 3 podem trobar alguna matriu amb determinant no nul)

|A′|=|2−1−2−2−11101−2182−206|=0 o sigui, r(A′)=3=r(A).

3) S'aplica el teorema de Rouché: r(A)=r(A′)=n, i per tant és un Sistema compatible determinat.

4) Es resol el sistema, si aquest no és incompatible, per la regla de Cramer o pel mètode de Gauss.

Prenem el sistema que correspon a la submatriu d'ordre 3, que té rang 3, i ho resolem.

{2x−y−2z=−2−x+y+z=0x−2y+z=8 El resolem utilitzant la regla de Cramer:

x=|−2−1−20118−21|2=22=1;  y=|2−2−2−101181|2=−42=−2 z=|2−1−2−1101−28|2=62=3