La idea del mètode de Gauss és la següent. Donat un sistema d'equacions utilitzem les regles del nivell precedent per crear un sistema equivalent que sigui esglaonat i ens permeti així una fàcil resolució. El mètode de Gauss pròpiament és el camí que seguirem per a l'obtenció d'aquest sistema equivalent.
Sigui el sistema: $$$\left\{ \begin{array}{c} 3x+2y+z=1 \\ 5x+3y+4z=2 \\ x+y-z=1 \end{array} \right.$$$
El primer pas és escriure aquest sistema en forma matricial. Vegeu que matricialment representem els coeficients i els termes independents. $$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & |1 \\ 5 & 3 & 4 & |2 \\ 1 & 1 & -1 & |1 \end{pmatrix}$$$
Utilitzant les regles ja conegudes hem d'aconseguir un sistema esglaonat, que tindrà el següent aspecte: $$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & |b_1 \\ \fbox{} & a_{22} & a_{23} & |b_2 \\ \fbox{} & \fbox{} & a_{33} & |b_3 \end{pmatrix}$$$ Vegem-ho $$$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & |1 \\ 5 & 3 & 4 & |2 \\ 1 & 1 & -1 & |1 \end{pmatrix}\rightarrow (f3\leftrightarrow f1) \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & |1 \\ 3 & 2 & 1 & |1 \\ 5 & 3 & 4 & |2 \end{pmatrix}\rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f2-3f1 \\ f3-5f1 \end{array} \right.$$$ $$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -1 & 4 & | & -2 \\ 0 & -2 & 9 & | & -3 \end{pmatrix} \rightarrow f3-2f2 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -1 & 4 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$$ Aquest sistema ja és esglaonat, amb la qual cosa un pot resoldre'l. Així doncs el sistema ha quedat així: $$$\left\{ \begin{array}{c} x+y-z=1 \\ -y+4z=-2 \\ z=1 \end{array} \right.$$$ La solució és: $$$z=1 \\ y=6 \\ x=-4$$$ Per tant aquest és un sistema compatible determinat.
Sigui ara el sistema $$$\left\{ \begin{array}{c} 2x-5y+4z+u-v=-3 \\ x-2y+z-u+v=5 \\ x-4y+6z+2+v=10 \end{array} \right.$$$
Que reescrivim $$$\begin{pmatrix} 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & | & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -1 & 1 &| & 5 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & | & 10 \end{pmatrix}$$$
Un fa els següents passos: $$$\begin{pmatrix} 2 & -5 & 4 & 1 & -1 & | & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -1 & 1 &| & 5 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & | & 10 \end{pmatrix} \rightarrow (f2\leftrightarrow f1) \rightarrow$$$ $$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & | & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 &| & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & | & 10 \end{pmatrix}\rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f2-2f1 \\ f3-f1 \end{array} \right. \rightarrow$$$ $$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & | & 5 \\ 2 & -5 & 4 & 1 & -1 &| & -3 \\ 1 & -4 & 6 & 2 & 1 & | & 10 \end{pmatrix} \rightarrow f3-2f2 \rightarrow$$$ $$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & -1 & 1 & | & 5 \\ 0 & -1 & 2 & 3 & -3 &| & -13 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 6 & | & 31 \end{pmatrix}$$$
i obté $$z-3u+6v=31$$.
En aquest cas donem valors qualssevol a $$u$$ i $$v$$ i després hi ha els valors corresponents de $$z$$, $$y$$ i $$x$$, tots ells en funció de $$u$$ i $$v$$. Es tracta d'un sistema compatible indeterminat.
Finalment vegem un exemple de sistema indeterminat $$$\left\{ \begin{array}{c} x+y-z=1 \\ 3x+2y+z=1 \\ 5x+3y+4z=2 \\ -2x-y+5z=6 \end{array} \right.$$$ Que es reescriu: $$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & |1 \\ 3 & 2 & 1 & |1 \\ 5 & 3 & 4 & |2 \\ -2 & -1 & 5 & |6 \end{pmatrix}$$$ I es fan els següents passos: $$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & |1 \\ 3 & 2 & 1 & |1 \\ 5 & 3 & 4 & |2 \\ -2 & -1 & 5 & |6 \end{pmatrix} \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f2-3f1 \\ f3-5f1 \\ f4+2f1 \end{array} \right. \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -1 & 4 & | & -2 \\ 0 & -2 & 9 & | & -3 \\ 0 & 1 & 3 & | & 8 \end{pmatrix} \rightarrow $$$ $$$\left\{ \begin{array}{c} f3-2f2 \\ f4+f2 \end{array} \right. \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -1 & 4 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 7 & | & 6 \end{pmatrix} \rightarrow f4-7f3 \rightarrow$$$ $$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & -1 & 4 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & -1 \end{pmatrix}$$$
Per veure una incompatibilitat: $$0=-1$$.
Aquest sistema és, doncs, incompatible.
Sistemes homogenis
Si un sistema de $$m$$ equacions i $$n$$ incògnites té tots els termes independents nuls es diu que és homogeni.
Només admet la solució trivial $$$x_1=x_2=\ldots=x_n=0$$$
La condició necessària i suficient perquè un sistema homogeni tingui solucions diferents de la trivial és que el rang de la matriu dels coeficients sigui menor que el nombre d'incògnites, o dit d'una altra manera, que el determinant de la matriu dels coeficients sigui nul. Per tant, per resoldre un sistema homogeni haurem imposar que el determinant no sigui zero per veure que la seva solució no és la trivial.