La idea del mètode de Gauss és la següent. Donat un sistema d'equacions utilitzem les regles del nivell precedent per crear un sistema equivalent que sigui esglaonat i ens permeti així una fàcil resolució. El mètode de Gauss pròpiament és el camí que seguirem per a l'obtenció d'aquest sistema equivalent.
Exemple
Sigui el sistema:
El primer pas és escriure aquest sistema en forma matricial. Vegeu que matricialment representem els coeficients i els termes independents.
Utilitzant les regles ja conegudes hem d'aconseguir un sistema esglaonat, que tindrà el següent aspecte:
Exemple
Sigui ara el sistema
Que reescrivim
Un fa els següents passos:
i obté
En aquest cas donem valors qualssevol a
Exemple
Finalment vegem un exemple de sistema indeterminat
Per veure una incompatibilitat:
Aquest sistema és, doncs, incompatible.
Sistemes homogenis
Si un sistema de
Només admet la solució trivial
La condició necessària i suficient perquè un sistema homogeni tingui solucions diferents de la trivial és que el rang de la matriu dels coeficients sigui menor que el nombre d'incògnites, o dit d'una altra manera, que el determinant de la matriu dels coeficients sigui nul. Per tant, per resoldre un sistema homogeni haurem imposar que el determinant no sigui zero per veure que la seva solució no és la trivial.