Sistemes equivalents

Es diu que un sistema és equivalent a un altre quan tenen la mateixa solució.

El mètode de Gauss utilitza la idea de sistema equivalent per resoldre el sistema donat. Per això utilitza certes regles de transformació de sistemes:

1. Si a tots dos membres d'una equació d'un sistema se'ls suma (o resta) una mateixa expressió, el sistema resultant és equivalent.

2. Si es multipliquen (o es divideixen) dos membres d'un sistema per un nombre diferent de zero el sistema resultant és equivalent. Per exemple $3x+2y-z=2$ equival a $15x+10y-5z=10$.

3. Si es suma (o es resta) a una equació del sistema altra equació del sistema el resultant és equivalent.

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ -1& 3& 0& 2\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)\to \text{fila1-fila2}\to \left(\begin{array}{cccc}2& -1& 1& -3\\ -1& 3& 0& 2\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)$$ Aquests dos sistemes són equivalents.

4. Si en un sistema es substitueix una equació per una altra que resulti de fer una combinació lineal de les altres equacions del sistema, el sistema resultant és equivalent al donat.

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ -1& 3& 0& 2\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)\to \text{fila1-3fila2}\to \left(\begin{array}{cccc}4& -7& 1& -7\\ -1& 3& 0& 2\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)$$ En aquest cas a la fila1 se li resta una combinació lineal de les altres files. El sistema resultant és equivalent.

5. Si en un sistema es canvia l'ordre de les equacions o de les incògnites el sistema resultant és equivalent.

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& -1\\ -1& 3& 0& 2\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}-1& 3& 0& 2\\ 1& 2& 1& -1\\ 1& 1& -1& 3\end{array}\right)$$

S'han canviat la fila1 i fila2 de lloc, però el sistema resultant és equivalent al primer.

Dit d'una altra manera, si se'ns dóna un sistema d'equacions qualsevol un pot utilitzar les $5$ regles precedents per modificar-lo i construir un altre sistema amb la mateixa solució.