Se dice que un sistema es equivalente a otro cuando tienen la misma solución.
El método de Gauss, por ejemplo, utiliza la idea de sistema equivalente para resolver el sistema dado. Para ello utiliza ciertas reglas de transformación de sistemas:
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Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma (o resta) una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
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Si se multiplican (o se dividen) ambos miembros de un sistema por un número diferente de cero el sistema resultante es equivalente. Por ejemplo $$3x+2y-z=2$$ equivale a $$15x+10y-5z=10$$.
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Si se suma (o se resta) auna ecuación del sistema otra ecuación del sistema el resultante es equivalente.
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ \mbox{fila1-fila2} \ \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$ Estos dos sistemas son equivalentes.
- Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de hacer una combinación lineal de las otras ecuaciones del sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ \mbox{fila1-3fila2} \ \rightarrow \begin{pmatrix} 4 & -7 & 1 & -7 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$ En este caso a la fila1 se la resta una combinación lineal de las otras filas. El sistema resultante es equivalente.
- Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o de las incógnitas el sistema resultante es equivalente.
$$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$$
Se han cambiado la fila1 y fila2 de sitio, pero el sistema resultante es equivalente al primero.
Dicho de otra forma, si se nos da un sistema de ecuaciones cualquiera uno puede utilizar las 5 reglas precedentes para modificarlo y construir otro sistema con la misma solución.