Exercicis de Teorema de Rouché-Fröbenius

Classifica els següents sistemes segons les seves solucions i en el cas que en tinguin determina-la:

1) ${\begin{array}{rcl} x + y - 2 z & = & 3 \\ 5 x + 5 y - 4 z & = & 1 \\ 3 x + 2 y - z & = & 1 \end{array}$

2) ${\begin{array}{rcl} x + y - 2 z & = & 4 \\ 2 x + 2 y - 4 z & = & 15 \\ x + y - z & = & 1 \end{array}$

3) ${\begin{array}{rcl} x - y + 2 z & = & 1 \\ x + 3 y - 5 z & = & 4 \\ 2 x - 2 y + 4 z & = & 2 \end{array}$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 5 & 5 & - 4 \\ 3 & 2 & - 1 \end{matrix})$ calculem el rang $| 1 | \neq 0; | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 5 & - 4 \end{matrix} | = 6 \neq 0; | \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 5 & 5 & - 4 \\ 3 & 2 & - 1 \end{matrix} | = 6 \neq 0$

així $r (A) = 3$ .

Es troba el rang de la matriu ampliada $A^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 3 \\ 5 & 5 & - 4 & 1 \\ 3 & 2 & - 1 & 1 \end{matrix})$ Com que tenim que d'ordre $3 \times 3$ és diferent de zero $| \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 5 & 5 & - 4 \\ 3 & 2 & - 1 \end{matrix} | = 6 \neq 0$ i no és possible una $4 \times 4$ obtenim $r (A^{'}) = 3$ .
Apliquem el teorema de Rouché, tenim $n = 3$ (nombre d'incògnites) i $r (A) = r (A^{'}) = 3$ , estem en el cas:

$r = r^{'} = n$ , Sistema Compatible Determinat.

Finalment resolem el sistema compatible. Es pot fer mitjançant el mètode de Gauss o usant la regla de Cramer.

$Δ_{1} = | \begin{matrix} 3 & 1 & - 2 \\ 1 & 5 & - 4 \\ 1 & 2 & - 1 \end{matrix} | = 12,$ $Δ_{2} = | \begin{matrix} 1 & 3 & - 2 \\ 5 & 1 & - 4 \\ 3 & 1 & - 1 \end{matrix} | = - 22,$ $Δ_{3} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} | = - 14$ $x = \frac{12}{6} = 2; y = - \frac{22}{6} = - \frac{11}{3}; z = - \frac{14}{6} = - \frac{7}{3}$

Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 2 & 2 & - 4 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix})$ calculem el rang $| 1 | \neq 0; | \begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & - 4 \end{matrix} | = - 2 \neq 0; | \begin{matrix} 1 & 1 & - 2 \\ 2 & 2 & - 4 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix} | = 0$

així $r (A) = 2$ .

Es troba el rang de la matriu ampliada $A^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 & - 2 & 4 \\ 2 & 2 & - 4 & 15 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$ Comprovem el d'ordre $3 \times 3$ ja que fins $2 \times 2$ ja tenim que és diferent de zero: $| \begin{matrix} 1 & - 2 & 4 \\ 2 & - 4 & 15 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix} | = - 7 \neq 0$ llavors $r (A^{'}) = 3$ .
Apliquem el teorema de Rouché, tenim $n = 3$ (nombre d'incògnites) i $r (A) = 2$ , $r (A^{'}) = 3$ , estem en el cas:

$r \neq r^{'}$ , Sistema Incompatible.

Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $A = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 3 & - 5 \\ 2 & - 2 & 4 \end{matrix})$ calculem el rang $| 1 | \neq 0; | \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} | = 4 \neq 0; | \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 3 & - 5 \\ 2 & - 2 & 4 \end{matrix} | = 0$

per tant $r (A) = 2$ .

Es troba el rang de la matriu ampliada $A^{'} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & - 5 & 4 \\ 2 & - 2 & 4 & 2 \end{matrix})$ Comprovem el d'ordre $3 \times 3$ ja que fins $2 \times 2$ tenim que són diferents de zero: $| \begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & - 2 & 2 \end{matrix} | = 0; | \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 5 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{matrix} | = 0; | \begin{matrix} - 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 5 & 4 \\ - 2 & 4 & 2 \end{matrix} | = 0;$ llavors $r (A^{'}) = 2$ .
Apliquem el teorema de Rouché, tenim $n = 3$ (nombre d'incògnites) i $r (A) = r (A^{'}) = 2$ , estem en el cas:

$r = r^{'} \neq n$ , Sistema Compatible Indeterminat.

Finalment resolem el sistema compatible. Es pot fer mitjançant el mètode de Gauss. $(\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & | & 1 \\ 1 & 3 & - 5 & | & 4 \\ 2 & - 2 & 4 & | & 2 \end{matrix}) \to {\begin{matrix} f 1 - f 2 \to f 2 \\ 2 f 1 - f 3 \to f 3 \end{matrix} \to (\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 & | & 1 \\ 0 & - 4 & 7 & | & - 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix})$

$z = z - 4 y + 7 z = - 3 \Rightarrow - 4 y = - 7 z - 3 \Rightarrow y = \frac{7 z + 3}{4}$

Substituint a la primera equació: $x - \frac{7 z + 3}{4} + 2 z = 1 \Rightarrow x + \frac{- 7 z - 3 + 8 z}{4} = 1 \Rightarrow$ $x = 1 - \frac{z - 3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{z - 3}{4} = \frac{- z + 7}{4}$

Solució:

1) $x = 2; y = - \frac{11}{3}; z = - \frac{7}{3}$ .

2) Sistema incompatible.

3) $x = \frac{- z + 7}{4}; y = \frac{7 z + 3}{4}; z = z$ .

Amagar desenvolupament i solució