Classifica els següents sistemes segons les seves solucions i en el cas que en tinguin determina-la:
1) $$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-2z & = & 3 \\ 5x+5y-4z &=& 1 \\ 3x+2y-z &=& 1 \end{array}\right.$$
2) $$\left\{ \begin{array} {rcl} x+y-2z & = & 4 \\ 2x+2y-4z &=& 15 \\ x+y-z &=& 1 \end{array}\right.$$
3) $$\left\{ \begin{array} {rcl} x-y+2z & = & 1 \\ x+3y-5z &=& 4 \\ 2x-2y+4z &=& 2 \end{array}\right.$$
Desenvolupament:
1)
- Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 5 & 5 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$$ calculem el rang $$$ |1|\neq0; \ \ \ \left| \begin{matrix} 1 & -2\\ 5 & -4 \end{matrix} \right|=6\neq0; \ \ \ \left| \begin{matrix} 1 & 1 & -2\\ 5 & 5 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{matrix} \right|=6\neq0$$$
així $$r(A)=3$$.
-
Es troba el rang de la matriu ampliada $$$A'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 5 & 5 & -4 & 1 \\ 3 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$$ Com que tenim que d'ordre $$3\times3$$ és diferent de zero $$$\left| \begin{matrix} 1 & 1 & -2\\ 5 & 5 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{matrix} \right|=6\neq0$$$ i no és possible una $$4\times4$$ obtenim $$r(A')=3$$.
- Apliquem el teorema de Rouché, tenim $$n=3$$ (nombre d'incògnites) i $$r(A)=r(A')=3$$, estem en el cas:
$$r=r'=n$$, Sistema Compatible Determinat.
- Finalment resolem el sistema compatible. Es pot fer mitjançant el mètode de Gauss o usant la regla de Cramer.
$$\Delta_1=\left| \begin{matrix} 3 & 1 & -2\\ 1 & 5 & -4 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right|=12, \ \ $$ $$\Delta_2=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & -2\\ 5 & 1 & -4 \\ 3 & 1 & -1 \end{matrix} \right|=-22, \ \ $$ $$\Delta_3=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 3\\ 5 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right|=-14$$ $$$x=\dfrac{12}{6}=2; \ y=-\dfrac{22}{6}=-\dfrac{11}{3}; \ z=-\dfrac{14}{6}=-\dfrac{7}{3}$$$
2)
- Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$$ calculem el rang $$$ |1|\neq0; \ \ \ \left| \begin{matrix} 1 & -2\\ 2 & -4 \end{matrix} \right|=-2\neq0; \ \ \ \left| \begin{matrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right|=0$$$
així $$r(A)=2$$.
-
Es troba el rang de la matriu ampliada $$$A'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & 2 & -4 & 15 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$$ Comprovem el d'ordre $$3\times3$$ ja que fins $$2\times2$$ ja tenim que és diferent de zero: $$$\left| \begin{matrix} 1 & -2 & 4\\ 2 & -4 & 15 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right|=-7\neq0$$$ llavors $$r(A')=3$$.
- Apliquem el teorema de Rouché, tenim $$n=3$$ (nombre d'incògnites) i $$r(A)=2$$, $$r(A')=3$$, estem en el cas:
$$r\neq r'$$, Sistema Incompatible.
3)
- Es pren la matriu dels coeficients i es troba el rang. $$$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & -5 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$$ calculem el rang $$$ |1|\neq0; \ \ \ \left| \begin{matrix} 1 & -1\\ 1 & 3 \end{matrix} \right|=4\neq0; \ \ \ \left| \begin{matrix} 1 & -1 & 2\\ 1 & 3 & -5 \\ 2 & -2 & 4 \end{matrix} \right|=0$$$
per tant $$r(A)=2$$.
-
Es troba el rang de la matriu ampliada $$$A'=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & -5 & 4 \\ 2 & -2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$$ Comprovem el d'ordre $$3\times3$$ ja que fins $$2\times2$$ tenim que són diferents de zero: $$$\left| \begin{matrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 2 \end{matrix} \right|=0; \ \ \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{matrix} \right|=0; \left| \begin{matrix} -1 & 2 & 1\\ 3 & -5 & 4 \\ -2 & 4 & 2 \end{matrix} \right|=0; $$$ llavors $$r(A')=2$$.
- Apliquem el teorema de Rouché, tenim $$n=3$$ (nombre d'incògnites) i $$r(A)=r(A')=2$$, estem en el cas:
$$r=r'\neq n$$, Sistema Compatible Indeterminat.
- Finalment resolem el sistema compatible. Es pot fer mitjançant el mètode de Gauss. $$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 1 \\ 1 & 3 & -5 & | & 4 \\ 2 & -2 & 4 & | & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} f1-f2 \rightarrow f2 \\ 2f1-f3\rightarrow f3 \end{array} \right. \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 1 \\ 0 & -4 & 7 & | & -3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$$
$$$z=z \\ -4y+7z=-3 \Rightarrow -4y=-7z-3 \Rightarrow y=\dfrac{7z+3}{4}$$$
Substituint a la primera equació: $$$x-\dfrac{7z+3}{4}+2z=1 \Rightarrow x+\dfrac{-7z-3+8z}{4}=1 \Rightarrow $$$ $$$x=1-\dfrac{z-3}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{z-3}{4}=\dfrac{-z+7}{4}$$$
Solució:
1) $$x=2; \ y=-\dfrac{11}{3}; \ z=-\dfrac{7}{3}$$.
2) Sistema incompatible.
3) $$x=\dfrac{-z+7}{4}; \ y=\dfrac{7z+3}{4}; \ z=z$$.